一、两端奇异的左定Sturm-Liouville问题的谱函数与Weyl函数（论文文献综述）
唐述凝[1]（2021）在《带权奇异Sturm-Liouville谱问题的相关研究》文中研究指明Sturm-Liouville问题起源于19世纪初求解偏微分方程中的热传导方程,分离变量而得到的,后来发现在数学物理中有广泛的应用.早在1910年,H.Weyl就利用圆套法给出了奇异Sturm-Liouville方程的一个分类,在无穷远点将其分为极限点型和极限圆型,从而开创了奇异Sturm-Liouville谱理论的研究.之后,许多学者开始了有关奇异微分算子谱理论以及相关问题的研究.随着对现实问题越来越深入的研究,带权奇异Sturm-Liouville的重要性越发显着,因为解空间从L2空间扩大到在带权情况的Lw2空间并且有了更多的实际应用的情况.本文主要完善了带权奇异Sturm-Liouville问题谱测度的定义,利用测度的Lebesgue分解,将谱测度分为绝对连续谱,奇异连续谱和点谱.然后通过极限点和极限圆理论得到的m（λ）函数来给出谱测度的具体表达形式,并且给出了绝对连续谱在秩为一扰动下不变性的证明.最后给出了一个带权奇异Sturm-Liouville问题的实例,并利用本文的方法证明了它的展开定理和谱测度支撑集的表达式.本文的结构如下:第一章,介绍了本文所研究问题的研究背景,实际来源和研究现状.第二章,研究了奇异Sturm-Liouville问题的基础理论,主要包括:谱函数和展开定理.第三章,用测度的Lebesgue分解,将谱分为绝对连续谱奇异连续谱和点谱.第四章,给出带权边值问题的m（λ）（Weyl-Titchmarsh）函数,并利用m（λ）函数得到奇异Sturm-Liouville问题极限点与极限圆的分类.第五章,研究了带权奇异Sturm-Liouville边值问题极限点和极限圆的判定方法.第六章,研究了m（λ）函数和谱测度ρ（λ）的关系,利用m（λ）函数给出带权边值问题谱测度的表出,并且证明了在一维扰动下绝对连续谱不变的性质.第七章,给出了一个带权奇异Sturm-Liouville问题的实例,并且用了之前的理论方法证明了和不带权形式不一样的展开定理和谱测度支持集的表达式.本文创新点:（1）完善了带权奇异Sturm-Liouville谱问题的基本理论.（2）得到了带权奇异Sturm-Liouville问题关于奇异点分类一些初等的判定.（3）对带权奇异Sturm-Liouville谱问题的工作打下了初步的基础,并具有一定的可延伸性.
赵迎春[2]（2018）在《内部具有不连续性Sturm-Liouville算子的研究》文中研究说明本文主要围绕内部具有不连续性Sturm–Liouville算子展开研究.微分算子是线性算子中有着非常深刻应用背景的一类无界线性算子.数学物理及其它应用科学中许多问题都可归结为确定微分算子的特征值和特征函数以及将任意函数按特征函数展开成级数（或积分）的问题,其中很多实际问题,例如具有叠层的热传导问题、带有结点的弦振动问题、势函数是广义函数的微分算子等,都可以转化为内部具有不连续性的微分算子问题.广为被关注的“弹子动力系统”也可以从微分算子谱理论的角度来观察和研究,即:考虑一类与其相关的微分算子（带有无穷多个不连续点的微分算子）,在不连续点附加转移条件来刻画质点的碰撞运动.因此内部具有不连续性微分算子的研究受到很多本领域数学工作者的广泛关注.本文将围绕内部具有无穷多个不连续点Sturm–Liouville算子以及内部具有不连续性不定Sturm–Liouville算子展开研究,并且把研究重点放在内部具有无穷多个不连续点Sturm–Liouville算子的亏指数、自共轭扩张域刻画、谱的离散性,内部具有不连续性左定Sturm–Liouville算子的谱分析,内部具有不连续性不定Sturm–Liouville算子的非实特征值存在性及其个数等方面的问题上.本文前半部分考虑了内部具有无穷多个不连续点Sturm–Liouville算子.首先,我们研究了此类算子的自共轭扩张描述问题.我们注意到:亏指数为无穷的对称微分算子需要无穷多个函数来描述其自共轭扩张域且这一组函数须满足“最大选取”条件.我们结合不连续点附加的转移条件给出了新的内积,建立了新的Hilbert空间,把问题放在这个新空间框架中去考虑,引入了新的概念,即与转移条件相关的最大算子max和最小算子min,证明了min在新建立的Hilbert空间中是具有有限亏指数的闭对称算子,且与max是相互共轭的,从而在新的空间框架下,很巧妙地将无穷亏指数问题转化成了有限亏指数问题,去掉了“最大选取”的限制.再利用微分方程的参数解,给出了min的所有自共轭扩张直接而完全的描述,进而讨论了最小算子min自共轭扩张的构造问题.在此基础上,我们进一步研究了某一类内部具有无穷多个不连续点Sturm–Liouville算子的亏指数、Friedrichs扩张、谱的离散性等问题.我们把问题放在一个与转移条件相关联的新空间框架中,给出了此类问题的亏指数取值范围,进一步给出了这类微分算子亏指数为（1,1）的充分条件,即系数函数,、不连续点及其转移条件的系数矩阵应满足的条件,讨论其下有界性,进而刻画了它的Friedrichs扩张.之后,我们利用算子分解方法给出了这类微分算子谱是离散的充分条件.本文后半部分考虑了内部具有不连续性的不定Sturm–Liouville算子.首先,我们利用特征曲线和Krein空间中的线性算子谱理论研究了内部具有不连续性不定Sturm–Liouville算子的谱分析问题,证明了内部具有不连续性左定Sturm–Liouville问题的谱是实的、离散的、没有有限聚点、且上下无界,进一步讨论了内部具有不连续性不定Sturm–Liouville算子的非实特征值存在性及其个数问题,给出了若干判断其问题的非实特征值是否存在及其个数的充分条件.之后,我们进一步研究了分离型边界条件情形下的内部具有不连续性不定Sturm–Liouville算子,证明了其特征曲线的解析性质,讨论了此类微分算子的非实特征值个数问题,并给出了具体的两个例子.全文共分为六章:第一章为绪论部分,主要给出了本文所考虑问题的研究背景、研究意义及其国内外研究进展和本文主要研究结果及创新点;第二章简单介绍了本文中所涉及的一些基本概念和重要引理;第三章建立了与微分算子内部不连续性相关联的新内积空间,研究了内部具有无穷多个不连续点Sturm–Liouville算子的自共轭扩张描述问题;第四章研究了一类内部具有无穷多个不连续点Sturm–Liouville算子的亏指数、Friedrichs扩张、谱的离散性等问题;第五章研究了内部具有不连续性不定Sturm–Liouville算子的谱分析问题;第六章研究了分离型边界条件情形下的内部具有不连续性不定Sturm–Liouville算子的非实特征值问题.
李昆[3]（2018）在《几类内部具有不连续性的微分算子耗散性及特征值关于问题依赖性的研究》文中认为近年来,随着应用领域中提出的众多问题,研究微分方程的解或者解的导数在区间内部不连续、边界条件依赖于谱参数的微分方程边值问题受到了越来越多研究者的关注.这些问题来源于许多物理问题甚至医学问题,例如具有结点的弦振动以及光的衍射问题等.这些实际的物理问题都可以转化为内部具有不连续性的微分算子问题来进行研究,为了处理这些问题的不连续性,通常的方法是在不连续点处加上转移条件,来刻画问题的解在不连续点处两侧的联系.本文将研究重点放在几类内部具有不连续性微分算子的谱分析上,研究内容主要包括两个部分:几类内部具有不连续性的微分算子耗散性、谱的离散性及特征展开问题,以及两类内部具有不连续性的高阶自伴微分算子特征值关于问题的依赖性.1969年,I.C.Gohberg和M.G.Krein在其着作“Introduction to the Theory of Linear Non-self-adjoint Operators”[49]中介绍了许多着名的定理,比如Krein定理、Livˇsic定理等,用于研究耗散算子的特征函数展开等问题.1970年,B.S.Pavlov[86]提出了一种新的方法来研究耗散算子的谱分析,这种方法是基于算子的自伴膨胀和相应的Sz.-Nagy-Foia?s型判别函数的泛函模型,利用Lax-Phillips散射矩阵和判别函数之间的等价性研究算子的谱性质.借鉴上述方法,我们研究了一类内部具有不连续性奇异Surm-Liouville算子的耗散性.在一端点正则,另一端点为奇异极限圆的情形下,结合边界条件和转移条件,通过构造新的Hilbert空间,在新空间中将考虑的边值问题转化为算子形式,我们证明了这个算子是耗散算子,并且得到特征值的一些性质.通过构造满足方程和边界转移条件的解,得到了算子的特征值满足的判别函数.通过计算算子的格林函数,得到了其逆算子.利用Livˇsic定理,证明了边值问题的特征函数与连带函数组成的系统在空间中是完备的.利用Pavlov的方法,我们研究了边界条件依赖于谱参数奇异Dirac算子的耗散性以及特征函数展开问题.由于边界条件中含有谱参数,因此通常的Hilbert空间不再适合问题的研究.运用算子理论,定义了一个与边界条件中谱参数相关的新内积,在新的Hilbert空间中,我们将所考虑的边值问题转化为算子形式.证明了这个算子为最大耗散算子,构造了它的自伴膨胀.通过Lax-Phillips散射理论,确定了输入和输出谱表示,得到散射矩阵,构造了最大耗散算子的泛函模型,根据膨胀的散射矩阵确定了判别函数.基于Lax-Phillips散射矩阵和Sz.-Nagy-Foia?s判别函数之间的等价性,以及判别函数理论,证明了所考虑问题谱的离散性以及特征函数与连带函数组成的系统的完备性.为了使研究的问题进一步深入,我们考虑了边界条件依赖于谱参数不连续奇异Dirac算子的耗散性以及特征函数展开问题.由于问题的不连续性,我们利用在不连续点处附加的转移条件,构造了与问题相关的新的Hilbert空间.在新的空间框架下,需要重新构造与问题相关的算子以及算子的自伴膨胀,这些都与转移条件的系数密切相关.通过修正的Pavlov的方法,得到了问题谱的离散性以及特征函数与连带函数所组成的系统的完备性等结论.文章还研究了一类不连续四阶梁振动方程的特征值问题.在几类特殊的边界条件下,我们证明了特征值不仅连续依赖而且光滑依赖于问题的参数.特别地,我们得到了特征值关于这些参数的微分表达式.特征值和特征函数关于问题依赖性的研究在微分算子理论中具有重要意义,它为特征值的数值计算提供了理论支撑.为了把上述结果推广到更一般的情况,文章研究了29)阶实对称不连续微分算子特征值关于问题的依赖性,证明了问题的每一个特征值都可以嵌入到一个连续的特征值分支中,特征值关于问题的参数是可微的.并且给出了特征值关于给定参数的微分表达式,特征值关于给定参数的单调性质可以由特征值关于该参数的导数得到.
杨莹[4]（2017）在《一维Schr?dinger算子的反演问题》文中研究说明一维Schr?dinger算子作为微分算子的典型代表,它的研究对算子理论的发展具有深远的意义.该算子的各类反演问题是应用数学领域中最为活跃的研究课题之一,它们起源于实际问题,诸如地球物理、自然语言处理、量子力学、医学成像等.该算子的反演问题长期以来受到数学家及物理学家的高度重视,取得了丰富的研究成果.本文以一维Schr?dinger算子为主要对象,研究其反谱和反散射问题.应用混合谱数据和/或散射数据,研究势函数和边值条件的唯一或有限重构问题.主要工作包括:第一章总结一维Schr?dinger算子理论的物理背景及反谱和反散射问题的研究现状,并介绍本文的主要工作.第二章研究正则型一维Schr?dinger算子的唯一重构问题.应用Marchenko唯一性定理,证明了:若势函数在部分区间上已知,则在无穷组谱中选取一组适当的特征值可唯一确定整个区间上的势函数和边值条件.第三章研究Schr?dinger算子反三组谱有限性问题.我们证明:当区间内有理点a处的界面条件不同且已知时,存在至多有限个由势函数及两端点的边值条件形成的三元组与定义在[0,1],[0,a]及[a,1]上的Schr?dinger算子的三组谱对应;并给出三元组个数的精确估计.第四章研究已知Volterra积分摄动的对称Schr?dinger算子的反谱问题.我们发现该算子为PT-对称的,应用此性质得到:当核函数与势函数的范数充分小时,由一组Dirichlet谱可唯一确定整个区间上的势函数.第五章研究奇异型一维Schr?dinger算子的反谱和反散射问题.借助Gel’fand-Levitan和Marchenko积分方程证明:若势函数在边界有限子区间上信息已知,则Jost函数的振幅（谱函数）可唯一重构势函数和边值条件;当边值条件已知时,Jost函数的相位（散射函数）可唯一重构势函数.特别地,在考虑势函数的唯一重构问题时特征值及规范常数（Marchenko规范常数）均可缺失.第六章研究边值条件含谱参数的Schrodiinger算子的反散射问题.探明该算子散射数据（散射函数、特征值及规范常数）的特性;推导出其Marchenko主方程,由此利用散射数据唯一重构势函数并给出重构算法.
张冉[5]（2017）在《一类四阶微分算子的谱性质》文中研究说明二阶Sturm - Lioville问题的左定的性质和其特征值在不同边界条件下得到的不等关系是已研究出的具体的结果,并通过Sturm比较定理得到了关于二阶微分算子的特征函数零点的特点,但对于四阶微分算子的谱的相关性质研究还不够探入,尤其是在不同势函数下四阶微分算子的特征值的大小比较上没有很好的结论.本文受文献[1,3,4,6,7,27,28]的启发,将关于二阶Sturm - Liouville问题的特征值的相关性质推广到四阶微分算子的谱问题上,并通过四阶微分方程的比较定理,得出四阶微分算子分别为右定及左定问题时,它们分别在不同势函数的情况下的特征值的大小比较.本文一开始将四阶微分方程与自伴边界条件相结合,构造了四阶微分算子,由四阶微分算子的左定的定义,将其与右定的问题联系在一起,得到左定性质判定的方法.结合已知的右定问题的算子理论知识,采用右定问题的性质研究了左定问题分别在不同边界条件如分离边界条件与耦合边界条件下特征值的不等关系式,最后利用四阶微分方程的比较定理,结合着自伴边界条件,得到右定问题和左定问题分别在不同势函数的情况下的特征值的大小比较.本文共分为四章:第一章引言简要的介绍了问题的背景和人们已经研究出的成果,进而利用已得结果,更加深入的进行研究,得到其它结论,这是本文的主要工作.第二章四阶微分算子左定的判定.考虑四阶微分方程（p1y"）" +py = λry,在I = [O, b]上与自伴边界条件:CY（a） + DY（b） = 0,构成的四阶微分算子的左定情况的判定,其中P1-1,∈ L1（I,R）,在I = [a,b]上p1> 0 a.e.且r改变符号,并和四阶右定微分方程（P1y"）" + py = λ|r|y,在I=[a,b]上,联系在一起,得到判定的结论.第三章应用右定问题的性质研究左定问题.在这一部分中,我们引入了新的四阶右定微分方程（P1y"）"+py + λry= ξ|r|y,在I=[a, b]上,其中ξ为谱参数.先得到了关于此四阶右定微分算子的特征值的相关性质,再应用得出的结论进行研究得到关于左定问题的谱的性质.第四章 具有不同势函数的四阶微分算子的特征值的比较.（1）在第一小节中,我们首先简单介绍了所学习过的关于二阶微分方程的Sturm比较定理,给下面的定理提供了充足的依据.（2）在第二小节中用同样的方法构造了四阶齐次微分方程y""（t）+g（t）y（t） = 0,其中q（t）∈C[a,b].并通过设定的不同的条件,研究了在不同势函数情况下关于四阶齐次微分方程解的零点的性质.（3）在第三小节里将四阶齐次微分方程的比较定理进行推广,比较了四阶微分方程（P1（t）x"（t））"+g1（t）x（t）=0,（P2（t）y"（t））"+g2（t）y（t）=0.分规当p1 （t）和p2（t）及q1（t）和q2（t）满足不同的条件时,研究了两个四阶微分方程解的零点的特点.（4）在第四小节中,考虑了四阶微分方程（p1（t）y"（t））"+p（t）y（t）=λr（t）y（t）,在I= （a,b）上,与自伴分离边界条件:构成的四阶微分算子,分别是左定问题和右定问题时,得出它们在不同势函数情况下,特征值的大小比较.
闫军[6]（2015）在《具有分布势函数的Sturm-Liouville问题的谱性质》文中提出作为常微分算子理论的起源,Sturm-Liouville问题已经发展成为数学界和物理学界的一个非常重要的研究领域.众所周知,经典的Sturm-Liouville理论是量子力学中描述微观粒子状态的主要数学工具,在量子力学中,为了描述微观粒子之间的相互作用,Schr?dinger方程中的势函数可以为广义函数（例如,Diracδ函数）,而此类问题超出了经典的Sturm-Liouville理论的研究范围.因此,研究具有分布势函数（势函数为广义函数）的Sturm-Liouville问题就显得尤为必要.本文主要研究具有分布势函数的Sturm-Liouville问题的谱性质,全文分为五个部分,内容如下:第一章为绪论部分,叙述了问题的研究背景,研究现状以及本文的主要工作.第二章介绍了本文所涉及的基本概念以及相关性质.第三章讨论了有限区间上具有分布势函数的Sturm-Liouville问题的谱性质,主要围绕自伴边界条件下的第n个特征值关于算子的依赖性问题以及特征函数的振荡性质展开讨论.首先,研究第n个特征值关于边界条件的连续性,以及第n个特征值关于算子系数的连续性和可微性.其次,讨论不同自伴边界条件下特征值之间的不等式关系,并由此分析特征函数的振荡性质.本章将构造一个经典Sturm-Liouville算子序列,使其在预解算子逼近的意义下收敛到具有分布势函数的Sturm-Liouville算子,从而得到该算子序列的特征值与具有分布势函数的算子特征值之间的关系.本文利用这一新的思路展开研究,推广了经典Sturm-Liouville算子的相关结果.此外,本章最后一节还将利用所得结果研究一类具有转移条件的Sturm-Liouville问题的谱性质.第四章主要研究具有分布势函数的Sturm-Liouville问题的有限谱理论.首先,本章在减弱的算子系数条件下,对分离型边界条件下特征值的存在性以及特征函数的振荡性质进行研究.其次,对区间进行分割并且使得系数在每个子区间上满足一定的条件,从而构造具有有限多个特征值的Sturm-Liouville问题,并且分析不同边界条件下特征值之间的不等式关系.最后,探讨具有有限谱的Sturm-Liouville问题与矩阵特征值问题之间的关系.第五章主要考虑无穷区间上具有δ-作用（δ势函数）的Sturm-Liouville算子的谱性质.本章讨论了算子谱为纯离散的充分必要条件,以及不含δ-作用的Sturm-Liouville算子在δ-作用的扰动下本质谱的稳定性.为了研究此类算子的谱性质,本章构造了具有δ-作用的Sturm-Liouville算子所对应的二次型,证明了一系列嵌入不等式,进而讨论嵌入算子的紧性.所得结果将Molchanov离散谱判定准则推广至具有δ-作用的Sturm-Liouville算子.
武国华[7]（2014）在《Sturm-Liouville理论的历史研究》文中研究指明本文通过对相关典籍的研读,采用史料分析法、比较研究法.在前人已有工作的基础上,对Sturm-Liouville理论进行了较为详细的考证和研究.主要工作如下：一、围绕Sturm-Liouville理论的发端与发展对Sturm-Liouville理论创立之前的工作进行梳理汇总,系统的揭示了经典Sturm-Liouville理论产生的总体背景.进而对达朗贝尔、傅里叶和泊松在Sturm-Liouville理论创立之前所做的先驱工作进行了详细介绍.二、详细考证了斯图姆的研究工作.指出：通过分析伯歇尔1911年的文章,说明了斯图姆研究微分方程的思想来源；重点释读了斯图姆的两篇着名的研究报告,揭示了他将定性思想应用到常微分方程后而得到的结论,即振动定理、比较定理和分离定理.而这些结论为Sturm-Liouville理论的形成奠定了基础,也成为了后来谱理论的发端.三、深入研究了刘维尔的研究工作,揭示了任意函数可以用特征函数的傅里叶级数展开,并探讨了该级数的收敛性,同时将该理论推广到高阶微分方程,并获得了一系列结果.四、概述了Sturm-Liouville理论（1900一1950）的后续发展,通过释读了Weyl, Dixon, Stone以及Titchmarsh的原文,揭示了他们是如何在已有的研究成果基础上将正则型的Sturm-Liouville理论向奇异型推广,并说明了Weyl和Titchmarsh合作所得到的成果.
姜朝宇,高云兰,孙莹[8]（2013）在《一类两端奇异带有转移条件的S-L问题的Weyl矩阵与谱矩阵》文中研究指明研究了一类带有转移条件二阶S-L问题两端奇异的情形,在定义的新的内积空间下进行,首先在有限区间I上进行讨论,然后将有限区间I的结论进一步推广到无限区间,最终给出了Weyl矩阵与谱矩阵的关系.
姜朝宇[9]（2013）在《几类带有转移条件的微分算子的研究》文中提出本文主要研究了几类带有转移条件的微分算子,即区间内部带有不连续点的微分算子的一些性质与结论.此类问题源于许多物理问题,与传统意义下的微分算子相比,由于不连续点的存在,除边界条件外,还需要添加不连续点处的条件,即转移条件.由于此类问题其内部的不连续性,并且在其不连续点两侧的部分还应有一定的关联.Mukhtarov引入了一种依赖转移条件的特殊内积,在此内积下形成的空间为Hilbert空间.本文的主要内容都是在这一新的Hilbert空间下进行.第一章给出了一类带有转移条件和耦合边界条件的二阶微分算子,定义了新的内积,给出了此类算子的最大算子域和最小算子域,并在新的内积空间中证明了此类算子的自共轭性以及一些相关的性质.第二章在第一章的基础上讨论了带有转移条件和耦合边界条件的二阶微分算子的特征值问题,通过对转移条件的等价转换,使得计算更为简便,从而求出了间断点两侧区间上各自的渐近估计式.第三章研究了一类带有转移条件二阶Sturm-Liouville|问题两端奇异的情形,首先在有限区间I上进行讨论,由于转移条件的存在,我们分两种情况进行讨论,然后将有限区间I的结论进一步推广到无限区间,最终给出了Weyl矩阵与谱矩阵的关系.
崔庆岳[10]（2012）在《一类与谱函数相关的联系方程》文中研究指明两个端点都属于极限点型的Sturm-Liouville方程在满足不同初始条件下相对应的谱函数的联系方程
二、两端奇异的左定Sturm-Liouville问题的谱函数与Weyl函数（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、两端奇异的左定Sturm-Liouville问题的谱函数与Weyl函数（论文提纲范文）
（1）带权奇异Sturm-Liouville谱问题的相关研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 研究背景 |
| 1.3 本文结构以及创新点 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 谱函数 |
| 2.2 展开定理 |
| 第三章 测度的分解 |
| 第四章 Wely-Titchmarsh函数 |
| 第五章 极限点和极限圆的判别准则 |
| 5.1 极限点型的判定 |
| 5.2 极限圆型的判定 |
| 第六章 m(λ)函数与谱函数 |
| 6.1 Green函数与预解式 |
| 6.2 m(λ)函数与谱函数的关系 |
| 第七章 例 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（2）内部具有不连续性Sturm-Liouville算子的研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 内部具有无穷多个不连续点的Sturm–Liouville问题 |
| 1.2 权函数变号的Sturm–Liouville问题 |
| 1.3 自共轭域的描述问题 |
| 1.4 亏指数理论 |
| 1.5 微分算子谱的定性分析 |
| 1.6 本文的主要结果和创新点 |
| 第二章 基本概念及重要引理 |
| 2.1 Hilbert空间内的线性算子及其谱理论 |
| 2.1.1 基本概念及性质 |
| 2.1.2 经典Sturm–Liouville算子理论 |
| 2.2 Krein空间内的线性算子及其谱理论 |
| 第三章 内部具有无穷多个不连续点Sturm–Liouville算子的自共轭域 |
| 3.1 新内积空间的建立 |
| 3.2 与问题相关联的最大、最小算子 |
| 3.3 min的自共轭扩张域描述 |
| 3.3.1 LP/LP情形 |
| 3.3.2 LC/LP或LP/LC情形 |
| 3.3.3 LC/LC情形 |
| 3.4 最小算子min自共轭扩张的构造 |
| 3.4.1 LP/LP情形 |
| 3.4.2 LC/LP或LP/LC情形 |
| 3.4.3 LC/LC情形 |
| 第四章 一类内部具有无穷多个不连续点Sturm–Liouville算子的亏指数和谱分析 |
| 4.1 与问题有关的新空间、最大最小算子 |
| 4.2 亏指数 |
| 4.3 Friedrichs扩张的刻画 |
| 4.4 谱的离散性 |
| 第五章 内部具有不连续性的不定Sturm–Liouville算子的谱分析 |
| 5.1 预备知识 |
| 5.2 具有转移条件的左定问题 |
| 5.3 具有转移条件的不定问题 |
| 第六章 具有分离型边界条件和内部具有不连续性的不定Sturm–Liouville算子 |
| 6.1 非实特征值的存在性 |
| 6.2 例子 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 主要符号表 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间已完成的学术论文 |
（3）几类内部具有不连续性的微分算子耗散性及特征值关于问题依赖性的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 问题提出的背景和本文的主要结果 |
| 1.1 绪论 |
| 1.2 耗散微分算子的研究 |
| 1.3 特征值关于问题依赖性的研究 |
| 1.4 本文的结构和主要结果 |
| 第二章 具有转移条件耗散奇异Sturm-Liouville问题的谱分析 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.2 耗散算子 |
| 2.3 特征行列式和Green函数 |
| 2.4 系统的完备性 |
| 第三章 边界条件含有谱参数非自伴奇异Dirac算子的谱分析 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.2 耗散算子 |
| 3.3 散射矩阵和泛函模型 |
| 3.4 完备性定理 |
| 第四章 边界条件含有谱参数不连续非自伴奇异Dirac算子的谱分析 |
| 4.1 预备知识 |
| 4.2 耗散算子 |
| 4.3 散射矩阵和泛函模型 |
| 4.4 完备性定理 |
| 第五章 具有转移条件正则四阶微分算子的特征值 |
| 5.1 预备知识 |
| 5.2 特征值和特征函数的连续性 |
| 5.3 特征值的可微性质 |
| 第六章 2n阶实对称带有转移条件微分算子特征值关于问题的依赖性 |
| 6.1 预备知识 |
| 6.2 特征值和特征函数的连续性 |
| 6.3 特征值的可微性质 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 主要符号表 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间发表和完成的学术论文 |
（4）一维Schr?dinger算子的反演问题（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1一维Schr?dinger算子的研究背景 |
| 1.1.1 弦振动问题 |
| 1.1.2 声学问题 |
| 1.1.3 Schr?dinger波动方程 |
| 1.2 一维Schr?dinger算子反演问题的研究现状 |
| 1.2.1 反谱问题的研究现状 |
| 1.2.2 反散射问题的研究现状 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 第2章 基于不同边值条件的一维Schr?dinger算子的反谱问题 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 预备知识 |
| 2.3 主要结论及证明 |
| 第3章 一维Schr?dinger算子反三组谱的有限性问题 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 预备知识 |
| 3.3 确定N |
| 3.4 有限性定理 |
| 3.4.1 至多有限性 |
| 3.4.2 有限性举例 |
| 3.4.3 唯一性 |
| 第4章 摄动的一维Schr?dinger算子的反谱问题 |
| 4.1 引言及主要结论 |
| 4.2 预备知识 |
| 4.2.1 PT对称算子 |
| 4.2.2 积分表达 |
| 4.3 主要结论的证明 |
| 第5章 半实轴上部分信息已知的一维Schr?dinger算子的反演问题 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 反谱问题 |
| 5.2.1 预备知识 |
| 5.2.2 主要结论及证明 |
| 5.3 反散射问题 |
| 5.3.1 预备知识 |
| 5.3.2 主要结论及证明 |
| 第6章 边界条件含谱参数的一维Schr?dinger算子的反散射问题 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 散射数据 |
| 6.2.1 散射函数 |
| 6.2.2 特征值及规范常数 |
| 6.3 主方程 |
| 6.4 唯一性定理 |
| 6.4.1 主方程的唯一性定理 |
| 6.4.2 反散射问题的唯一性定理 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间的研究成果 |
（5）一类四阶微分算子的谱性质（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 引言 |
| 第二章 四阶微分算子左定的判定 |
| 第三章 应用右定问题的性质研究左定问题 |
| 第四章 具有不同势函数的四阶微分算子谱的性质 |
| S4.1 相关概念及结论 |
| S4.2 四阶线性齐次微分方程的比较定理 |
| S4.3 四阶微分方程比较定理的推广 |
| S4.4 具有不同势函数的四阶微分算子的特征值的比较 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间完成的主要学术论文 |
| 致谢 |
（6）具有分布势函数的Sturm-Liouville问题的谱性质（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 常微分算子理论简述 |
| 1.2 具有分布势函数的Sturm-Liouville算子理论的发展 |
| 1.2.1 具有 δ 势函数的Schr ?dinger算子的研究背景及现状 |
| 1.2.2 具有一般分布势函数的Sturm-Liouville算子的研究背景及现状 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 第二章 算子理论的基本知识 |
| 2.1 Hilbert空间上的线性算子 |
| 2.2 Hilbert空间上的微分算子 |
| 第三章 具有分布势函数的Sturm-Liouville算子的特征值问题 |
| 3.1 基本结果与引理 |
| 3.2 经典Sturm-Liouville算子与具有分布势函数的Sturm-Liouville算子之间的关系 |
| 3.3 分离型边界条件下的第n个特征值关于参数 α, β 的依赖性 |
| 3.4 不同边界条件下特征值之间的比较关系式 |
| 3.5 λ_n关于自伴边界条件的依赖性 |
| 3.6 特征函数的振荡性质 |
| 3.7 λ_n关于算子系数的依赖性 |
| 3.8 一类具有转移条件的Sturm-Liouville问题 |
| 第四章 具有分布势函数的Sturm-Liouville问题的有限谱理论 |
| 4.1 基本结果与引理 |
| 4.2 具有有限谱的Sturm-Liouville问题 |
| 4.3 分离型边界条件下特征值的存在性以及特征函数的振荡性质 |
| 4.4 不同边界条件下有限多个特征值之间的比较关系式 |
| 4.5 具有有限谱的Sturm-Liouville问题的矩阵表示 |
| 4.6 矩阵特征值问题的Sturm-Liouville问题表示 |
| 第五章 无穷区间上具有 δ-作用的Sturm-Liouville算子的谱性质 |
| 5.1 基本结果与引理 |
| 5.2 算子H_(X,α,q)对应的二次型 |
| 5.3 算子谱纯离散的判定条件 |
| 5.4 算子本质谱稳定的条件: 情形I |
| 5.5 算子本质谱稳定的条件: 情形II |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 发表论文和参加科研情况说明 |
| 符号说明 |
| 致谢 |
（7）Sturm-Liouville理论的历史研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 引言 |
| 第一章 Sturm-Liouville理论的先驱 |
| 1.1 边值问题 |
| 1.2 先驱工作 |
| 1.2.1 特征值存在性的早期研究 |
| 1.2.2 傅里叶级数展开式的前期工作 |
| 1.2.3 特征值实性的最初证明 |
| 第二章 Sturm-Liouville理论的初步形成—斯图姆的工作 |
| 2.1 思想来源 |
| 2.2 斯图姆的研究成果 |
| 2.2.1 第一篇着名的研究报告 |
| 2.2.2 第二篇着名的研究报告 |
| 第三章 Sturm-Liouville理论的初步形成—刘维尔的工作 |
| 3.1 关于热传导早期的工作 |
| 3.2 对傅里叶展式的工作 |
| 3.3 推广到高阶微分方程上的工作 |
| 第四章 近现代的Sturm-Liouville理论 |
| 4.1 H.Weyl的工作 |
| 4.2 A.C.Dixon的工作 |
| 4.3 M.H.Stone的工作 |
| 4.4 E.C.Titchmarsh的工作 |
| 4.4.1 正则型边值问题 |
| 4.4.2 奇异型边值问题 |
| 4.5 The Titchmarsh-Weyl的贡献 |
| 4.5.1 正则情形 |
| 4.5.2 奇异情形 |
| 结语 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
（8）一类两端奇异带有转移条件的S-L问题的Weyl矩阵与谱矩阵（论文提纲范文）
| 0引言 |
| 1预备知识 |
| 2 Weyl矩阵与谱矩阵的关系 |
（9）几类带有转移条件的微分算子的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 引言 |
| 第一章 一类带有耦合边界条件和转移条件的自伴算子 |
| §1.1 预备知识 |
| §1.2 算子T的自共轭性 |
| 第二章 一类带有耦合边界条件和转移条件S-L问题特征值与特征函数的渐近式 |
| §2.1 预备知识 |
| §2.2 主要结论 |
| 第三章 两端奇异带有转移条件的S-L问题的Wleyl矩阵与谱矩阵 |
| §3.1 预备知识 |
| §3.2 Weyl矩阵与谱矩阵的关系 |
| 第四章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间取得的科研成果及获奖情况 |
四、两端奇异的左定Sturm-Liouville问题的谱函数与Weyl函数（论文参考文献）
- [1]带权奇异Sturm-Liouville谱问题的相关研究[D]. 唐述凝. 山东大学, 2021(12)
- [2]内部具有不连续性Sturm-Liouville算子的研究[D]. 赵迎春. 内蒙古大学, 2018(02)
- [3]几类内部具有不连续性的微分算子耗散性及特征值关于问题依赖性的研究[D]. 李昆. 内蒙古大学, 2018(12)
- [4]一维Schr?dinger算子的反演问题[D]. 杨莹. 陕西师范大学, 2017(05)
- [5]一类四阶微分算子的谱性质[D]. 张冉. 曲阜师范大学, 2017(02)
- [6]具有分布势函数的Sturm-Liouville问题的谱性质[D]. 闫军. 天津大学, 2015(08)
- [7]Sturm-Liouville理论的历史研究[D]. 武国华. 山西师范大学, 2014(09)
- [8]一类两端奇异带有转移条件的S-L问题的Weyl矩阵与谱矩阵[J]. 姜朝宇,高云兰,孙莹. 内蒙古工业大学学报(自然科学版), 2013(03)
- [9]几类带有转移条件的微分算子的研究[D]. 姜朝宇. 内蒙古工业大学, 2013(05)
- [10]一类与谱函数相关的联系方程[J]. 崔庆岳. 门窗, 2012(05)