一、关于Emden-Fowler型方程的非局部边值问题（论文文献综述）
任晶[1]（2021）在《分数阶方程的可解性与稳定性》文中研究指明分数阶微积分理论在现代数学中应用广泛,距今已有300多年的发展历史.分数阶微分（差分）方程解的研究是自然科学和工程领域中一个普遍关注的课题,在医学图像处理、定量金融、人口流动、神经网络和大型气候的研究中有重要的应用价值.因此,分数阶方程解的定性研究及应用是一项非常有意义的研究工作.本文针对几类典型的分数阶方程（系统）,利用不动点定理、分数阶比较原理、上下解方法、Lyapunov稳定性理论、微分包含和集值映射理论、Mittag-Leffler函数估计、不等式技巧等研究了分数阶方程边值问题解的存在性与稳定性.作为应用,进一步讨论了广义分数阶时滞忆阻神经网络的稳定性,并对结论进行了仿真验证.本文研究结果丰富了分数阶方程解的研究.全文分为五章.第一章,介绍所研究课题的来源、历史背景、国内外研究现状以及分数阶微积分相关的一些基本概念及性质.第二章,研究分数阶q-差分方程积分边值问题唯一解的存在性及多解性.第1节,依据u0-正线性算子的性质得到一类含Stieltjes积分条件的分数阶q-差分方程解的存在唯一性条件,其中Lipschitz常数与相应算子的第一特征值有关.并利用Guo-Krasno-selskii和Leggett-Williams不动点定理得到方程多重正解的存在性结果.第2节,基于分数阶比较原理及上下解方法证明了一类带有积分边值条件的高阶分数阶q-差分方程极值解的存在性.在分数阶q-差分方程中引入Stieltjes积分条件进行研究,这在文献中尚未见到.因此所得结果丰富了分数阶q-差分方程边值问题解的研究.第三章,研究分数阶微分系统解的存在性与唯一性.第1节,讨论含有p-Laplacian算子的广义Riesz-Caputo分数阶耦合系统多点边值问题.首先,在前一章的基础上给出混合上下解的定义,结合单调迭代法得到系统解存在的充分条件.其次,为了证明p=2时方程解的存在唯一性,建立了φ-（h,e）-凸算子不动点定理,在不要求上下解存在或紧性条件的情形下,得到Banach空间中算子方程A（x,x）+Bx+e=x存在唯一解的几个结论,为边值问题解的研究提供了新的方法.第2节,给出无穷区间上紧算子的判定准则,选取合适的Banach空间并利用不动点定理得到无穷区间上分数阶微分系统解的存在性和唯一性,其中非线性项依赖于低阶导数且边界条件含有扰动参数,与已有文献相比,本节所研究系统更具一般性.第四章,研究两类广义分数阶微分系统解的唯一性及稳定性.第1节,通过新的分数阶微分不等式建立比较定理,结合Lyapunov直接法得到广义微分系统的全局Mittag-Leffler稳定性标准.当系统含有时滞时,给出包含时滞Lyapunov函数的稳定性条件,借助Gronwall不等式来处理时间延迟的情形,与通常使用的Razumikhin工具相比,保守性相对较小.进一步将所得理论结果应用到广义分数阶忆阻神经网络中,由于时变时滞及参数ρ的影响,使得我们研究的系统更复杂,在较弱的条件下得到解的Mittag-Leffler稳定性标准.第2节,讨论中立型广义分数阶时滞系统解的唯一性及有限时间稳定性.一方面,给出Mittag-Leffler函数的一个估计式并建立了基于多参数Mittag-Leffler函数的Gronw all积分不等式（不含时滞）,结合ρ-Laplace变换间接得到系统的一个有限时间稳定性标准.另一方面,针对中立型系统,给出推广后的分数阶Gronwall积分不等式（含时滞）,直接得出系统有限时间稳定的一个新判据.作为应用,讨论了中立型广义分数阶忆阻神经网络的有限时间稳定性,并给出数值仿真验证了理论结果的有效性.文献中关于中立型广义分数阶系统的稳定性研究尚未涉及,本章的研究内容推广和完善了相关文献的结果.第五章对本文所研究内容进行了归纳总结,并对未来的研究工作做了展望.
杨涛[2]（2021）在《几类椭圆型方程（组）的约束变分以及自由变分问题的研究》文中进行了进一步梳理本文主要研究含Sobolev临界指数的Kirchhoff-型方程、Gross-Pitaevskii方程规范化解的存在性与渐近性,带有Hardy项的双临界分数次Laplace方程非平凡弱解的存在性和乘积Sobolev空间中修正的Sobolev不等式及其在带有Hardy项的双临界分数次Laplace方程组中的应用.本文总共有五章.在第一章中,我们阐述了本文所研究问题的背景及国内外研究现状,并且介绍了本文的主要工作及相关的预备知识和符号.在第二章中,我们研究了 R3中一类含Sobolev临界指数的Kirchhoff-型方程-（a+b∫R3|▽u|2）Δu=λu+|u|p-2u+μ|u|q-2u,x ∈ R3规范化解的存在性与渐近性,其中a>0,b>0,2<q<14/3<p≤6或14/3<q<p≤6,μ>0且λ ∈R是待定的且以拉格朗日乘子出现.对于上述范围内的p和q,方程所对应的能量泛函在给定的L2-球面上无下界,我们仍考虑了 Sobolev临界p=6的情形.若2<q<10/3且14/3<p<6,我们找到了该方程的两个规范化解.若2<q<10/3<p=6或14/3＜q＜p≤6,我们找到了该方程的规范化基态解.进一步,我们也给出了上述规范化解的渐近性.我们的主要结果将N.Soave（J.Differential Equations 2020&J.Funct.Anal.2020）关于 Schrodinger 方程的结果推广到了Kirchhoff-型方程.在第三章中,我们研究了 R3中一类带有三体缺失的Gross-Pitaevskii方程-1/2Δu+λ1|u|2u+λ2（K*|u|2）u+λ3|u|p-2u+ωu=0,x ∈ R3,规范化基态解的存在性,渐近性,稳定性以及解的具体刻画,其中2<p<10/3,（λ1,λ2,λ3）∈R2×R-,*表示卷积,K（x）=1-3cos2θ（x）/|x|3,θx)是（0,0,1）和x ∈R3 之间的夹角且ω∈R是待定的且以拉格朗日乘子出现.当用来描述非线性项之间作用强度的物理参数落在某个范围时,方程所对应的能量泛函在给定的L2-球面上无下界,不能合理地定义全局极小化问题,因此我们转而考虑一个局部极小化问题来证明该方程的规范化基态解的存在性.进一步,我们证明了它在相应的Cauchy流作用下是稳定的.最后,通过修正规范化基态能量的上界,我们得到了在质量消失时该规范化基态解的精确刻画.在第四章中,我们研究了Rn上带有Hardy项的双临界分数次Laplace方程的非平凡弱解的存在性.为解决该问题,我们首先借助加权Morrey空间来建立一些新的Sobolev不等式.本章的主要结果已发表在（Acta Math.Sci.Ser.B（Engl.Ed.）,40,1808-1830,2020）.在第五章中,我们证明了乘积Sobolev空间中含有加权Morrey范数的修正的Sobolev不等式并给出了其在带有Hardy项的双临界分数次Laplace方程组中的应用.本章的主要结果已于2020年发表在（Discrete Contin.Dyn.Syst.Ser.S,doi:10.3934/dcdss.2020469）.
张海燕,莫帅,赵月云,毛安民[3]（2021）在《四阶非局部基尔霍夫方程的多重解》文中研究说明研究如下四阶基尔霍夫椭圆型方程■其中Δ2=Δ（Δ）为双调和算子,a,b>0为常数,且势函数■.在合理的假设下,通过使用变分法获得了此方程的基态解和山路解.
余胜斌[4]（2020）在《R3上奇异椭圆方程解的存在性及渐近性》文中研究说明本文研究R3上奇异椭圆方程解的存在性和渐近性,主要工作分为以下五个部分:1.研究如下具有弱奇异项的Choquard方程解的相关问题:其中1+α/3≤p<3+α,0<γ<1,Ia（0<α<3）为Riesz位势函数.在函数V（x）和f（x）满足一定的假设条件下,本文第一章证得方程（Pλ）在λ>0下有唯一正解uλ,且当λ→0+时,该唯一解uλ会趋近于方程（P0）的唯一正解;第二章证得方程（Pλ）在λ<0下至少有两个解:一个正基态解uλ（1）和一个正解uλ（2）,且当λ →0-时,这两个解具有如下收敛性:uλ（2）发散而uλ（1）趋近于方程（P0）的唯一正解.2.研究如下具有弱奇异项的临界Choquard方程解的相关问题:其中 1+α/3 ＜p<3,0<γ<1,λ>0,Iα（0 ＜α<3）为 Riesz位势函数.在函数V（x）和f（x）满足一定的假设条件下,本文第三章证得方程（CPA）至少有两个解:一个正基态解uλ和一个正解vλ,且当λ→0+时,这些解具有如下收敛性:uλ会趋近于方程（CP0）的基态解而vλ会趋近于方程（CP0）的正解.3.研究如下具有弱奇异项的临界椭圆方程解的相关问题:其中0<γ<1,λ>0,Q（x）＞ 0.当函数f（x）满足一定的假设条件而函数Q（x）在k个不同点a1,a2,…,ak处取到相同的最大值QM时,本文第四章证得方程（KPλ）至少有k+1个解:一个正基态解uλ和k个不同的正解uλ,i（i=1,2,…,k）,且当λ→0+时,正基态解uλ趋近于0而其余的k个正解在测度意义下具有下述收敛性:这里δai是ai处的Dirac测度,S是Sobolev嵌入D1,2（R3）→L6（R3）的最佳常数.4.研究如下具有奇异项的分数阶Schro|dinger-Poisson系统解的相关问题:其中λ>0,0<s≤t<1且4s+2t>3.（-△）s为分数阶Laplacian算子.在函数V（x）和f（x）满足一定的假设条件下,本文第五章证得弱奇性（0<γ<1）情形下系统（SPλ）的唯一正解uλ的存在性和单调性.第六章证得强奇性（γ>1）情形下系统（SPλ）的正解uλ存在且唯一的一个充分必要条件及解的单调性.此外,当λ→0+时,两种情形下的唯一解均会趋近于对应情形下的方程（SP0）的唯一正解.5.研究如下具有奇异项的分数阶Kirchhoff型方程解的相关问题:其中b>0,0<s<1.（-△）s为分数阶Laplacian算子.在函数V（x）和f（x）满足一定的假设条件下,本文第七章证得弱奇性（0<γ<1）情形下方程（Kb）的唯一正解ub的存在性;第八章证得强奇性（γ>1）情形下方程（Kb）的正解ub存在且唯一的一个充分必要条件.此外,当b→0+时,两种情形下的唯一解均会趋近于对应情形下的方程（K0）的唯一正解.
王慧[5]（2019）在《分数阶微分方程及其在传染病学中的应用》文中指出分数阶微分方程是指含有任意阶导数的微分方程,其中的分数阶导数与分形有密切的关系,并且具有全局相关性、记忆性和遗传性等特性,使得分数阶微分方程模型能够有效地描述自然界中一些复杂行为和现象。在生物医学领域中,很多生物现象,如生物分子或细胞的相互作用、种群的相互作用、微生物培养、细胞的增长过程、人体免疫过程等表现出分形几何、全局相关、记忆遗传效应等特征。此时,建立分数阶微分方程模型,能够更加准确的描述所研究问题随时间的动态变化过程。因此,完善分数阶微分方程理论,有效地将其应用到生物医学领域中是本文所关注的研究方向。在理论上,本文应用非线性泛函分析中的锥理论、不动点理论、单调迭代方法等对几类分数阶微方程及方程组解的存在性、唯一性等问题进行研究,获得一些有效的方法和结论;在应用上,以生物医学为背景,针对传染病在具有免疫接种人群中传播的现象,建立了同阶耦合分数阶微分方程组数学模型,通过理论分析,研究了模型的非线性动力学行为。主要内容包括以下几个方面:第一章,给出了本文的选题背景、意义及研究现状,并介绍了主要工作及一些预备知识。第二章,考察一类具有和式非线性项的Riemann-Liouvile分数阶微分方程多点边值问题。我们首先在序Banach空间中的锥P上,在非紧非连续性假设下,讨论了两类“和型”非线性算子的不动点定理。然后将所得算子不动点方法应用于分数阶微分方程中,获得了正解的存在唯一性结论以及唯一解的迭代收敛序列。最后,给出具体的实例作为应用,验证了结论的适用性。我们的工作推广了已有“和型”非线性算子的不动点定理,完善了分数阶微分系统解的存在性结果。第三章,在序Banach空间中的Ph,e集合上,通过利用锥理论和单调迭代技巧,在不要求算子上下解存在的情况下,研究了三类具有不同凹凸性的混合单调算子的不动点定理,并应用于研究一类非线性项含任意常数的分数阶微分方程两点边值问题,得到方程非平凡解存在且唯一的充分条件以及唯一解的迭代收敛序列。最后,通过具体例子说明了抽象定理的应用。第四章,讨论了一类高阶奇异分数阶微分方程多点边值问题,其中的非线性项允许关于时间、空间变量奇异。我们的研究办法是将微分方程转化为等价的积分方程。通过考察格林函数的性质以及利用Ph集合上“和型”非线性算子的不动点定理,得到了方程正解的存在性与唯一性结论,同时给出唯一解的迭代收敛序列。最后,通过两个具体的实例,验证了本章主要结果的应用。本研究推广和改进了一些奇异和非奇异情形下的结果。第五章,考察了一类Caputo型耦合分数阶脉冲微分方程组初值问题。该模型是由一类HIV-1种群动态模型演化而来的抽象系统。首先,对于给定的控制函数,我们利用广义凹算子的不动点定理,证明了耦合系统正解的存在性与唯一性。然后,在最小非线性泛函意义下,利用非线性泛函分析工具与最优控制基本理论,我们证明了唯一解最优控制的存在性。最后,给出具体的实例验证了结论的有效性。第六章,建立了 一类非线性分数阶微分方程组传染病模型,该模型考虑了免疫接种与非线性饱和传染率。通过利用上下解方法以及单调迭技巧,我们证明了抽象分数阶微分方程组解的存在唯一性,进而获得模型非负解的存在性与唯一性结论。第七章,对Caputo型分数阶SVIR模型的动力学性质进行分析。我们讨论了模型无病平衡点、地方平衡点的存在性与局部渐进稳定性,并研究了系统的后向分支问题,给出控制疾病消除的新阈值Rvc.第八章,对本文的研究内容作出总结与展望。
安育成[6]（2020）在《几类退化椭圆型方程（组）的Liouville型定理及其解的性质》文中指出经典的Liouville定理指出在全空间上的有界调和函数一定是常数.近几十年来,Liouville定理被国内外学者广泛地研究和推广到各种方程（组）中.同时,该定理也被用于研究各类方程（组）解的存在性和不存在性（Liouville型定理）以及解的对称性和单调性等.另外,Heisenberg群上的次椭圆（Kohn-Laplacian）算子ΔH是典型的点点退化的椭圆型算子,在几何控制、非完整力学、金融数学、医学成像和理论物理等方面具有广泛的应用.本文主要基于截断函数技巧、先验估计、能量方法、不动点理论和非线性泛函分析理论等,研究Heisenberg群上的几类次椭圆方程（组）解的存在性和不存性以及一类次椭圆方程解的存在唯一性和对称性.主要具体工作如下:在第二章中,我们考虑如下Heisenberg群上的次椭圆不等式组:（?）和（?）这里ΔH是Heisenberg群Hn（n ≥ 1）上的次椭圆（Kohn-Laplacian）算子,hi（i=1,2,3）是非负函数,Ω（?）Hn是一个无界区域.在适当的假设条件下,利用能量方法、截断函数和分析技巧,证明上述两个次椭圆不等式组在全空间和半空间上都没有正解（Liouville型定理）.在第三章中,我们考虑如下带奇异非线性项的次椭圆方程:（?）其中Ω是Heisenberg群Hn（≥ 1）中的光滑有界区域,γ>0和h是非负函数.首先,我们利用Schauder不动点定理和逼近方法证明上述次奇异次椭圆方程解的存在性.其次,通过证明一个弱比较原理而获得其解的唯一性.进一步,根据解的唯一性和在结构性条件下,证明上述奇异次椭圆方程解的对称性.在第四章中,考虑Heisenberg群H1上带临界指数的Schrodinger-Poisson型次椭圆系统:（?）这里Ω是Heisenberg群H1上的光滑有界区域,1<q<2,μ ∈ R和λ>0.利用Green表示公式、集中紧性原理和临界点理论,当μ<S × meas（Ω）-1/2和λ足够小时,证明上述Schrodinger-Poisson型次系统至少存在两个正解和一个基态解.
刘慧[7]（2019）在《几类非线性常微分方程边值问题正解的存在性研究》文中研究指明常微分方程边值问题已得到了广泛的应用和深入研究.在实际问题中通常只有正解才有意义,因此研究常微分方程边值问题的正解具有重要的理论意义与实际价值.本文致力于几类非线性常微分方程边值问题正解的存在性研究.本文分为如下五章内容.第一章首先对常微分方程边值问题的背景知识及研究现状作了简要介绍,然后阐述了本文研究的主要内容,最后列出本文所用的概念和引理.第二章讨论两类二阶非线性常微分方程边值问题的Green函数.第三章研究二阶非线性常微分方程Sturm-Liouville边值问题在两种不同边值条件下的正解存在性.首先,利用Guo-Krasnosel’skill不动点定理,研究了一类两点边值问题在非线性项f满足f0=∞且f∞=∞（或f0=0且f∞=0）条件下至少两个正解的存在性.然后,运用紧算子的不动点指数性质证明了一类具有变号非线性项的m点边值问题的正解存在性.第四章研究两类三阶非线性常微分方程m点边值问题的正解存在性.首先,利用Guo-Krasnosel’skill不动点定理,研究了一类m点边值问题在非线性项f满足超线性及次线性条件下的正解存在性.然后,运用Leggett-Williams不动点定理,讨论了一类m点边值问题在非线性项可变号的条件下至少存在三个正解.第五章是本文的研究总结和展望.
王文清[8]（2018）在《两类带有双调和算子的椭圆型方程》文中指出椭圆型偏微分方程,简称椭圆型方程是一类重要的偏微分方程.近几十年来,对椭圆型方程的研究已取得了丰硕的成果.它在流体力学、弹性力学、电磁学、量子力学中有着广泛的应用.目前,带有双调和算子的椭圆型方程仍是国际数学上很重要的一个领域,具有一定的研究意义.本文主要包含两部分内容.在第一部分,我们讨论一类重要且普遍的四阶椭圆型方程:其中Δ2=Δ（Δ）表示双调和算子,λ是非负常数.我们致力于研究f（x,u）是凹凸组合项,势井V（x）是允许变号的情况.通过应用新的技巧,我们得到了两种不同类型的非平凡解,一个是极小型的一个是山路型的.我们的研究推广了现有的一些结论.在第二部分,我们用变分方法去研究一类带有双局部项的四阶椭圆型方程的非平凡解尤其是变号解,方程如下:其中Δ2=Δ（Δ）代表双调合算子,1<q<2<p<（2*-2）.我们都知道对于双调合问题是没有极值原理的.我们将要证明方程至少有两个局部极小类型的非平凡解,还有至少三个山路类型的非平凡解（其中有一个是变号的）,另外还有无穷多高能量变号解.
李清微[9]（2017）在《几类具p-Laplace算子的椭圆型和抛物型方程解的研究》文中研究表明拟线性椭圆型方程和抛物型方程是两类重要的偏微分方程,比较典型的例子有流体力学中的p-Laplace方程[1],多孔介质方程[2],非线性弹性反应扩散方程[3]等.近年来,随着人们对偏微分方程的研究更加地深入和广泛,所讨论的微分算子的形式也越来越复杂化,关于具p-Laplace算子的拟线性偏微分方程的研究得到了国内外数学家们的广泛关注.二十世纪初苏联数学家Sobolev在文[4,5]中引入了 Sobolev空间的概念,这类空间对偏微分方程的研究具有重要和广泛的应用价值,尤其是对p-Laplace方程的研究起着非常关键的作用.本文主要对几类具p-Laplace算子的椭圆型和抛物型方程解的性质进行研究.包括解的存在性、唯一性、正则性、爆破、熄灭以及解的长时间渐近行为等.全文共分为五第一章为绪论.介绍本文所研究的主要内容,研究现状及本文所研究问题需要克服的典型困难和使用的主要方法等.在第二章中,我们研究一类p-Laplace奇异椭圆方程的Dirichlet边值问题其中,Ω（?）RN（N ≥ 1）是具有光滑边界的有界区域,是标准的p-Laplace算子,p>1,γ>1,h（x）是L1（Ω）中的正函数（即h（x>0几乎处处于Ω上）.首先由于方程（1）具有强奇性（γ>1）,经典的变分法（临界点理论）,上下解方法以及不动点定理等常用方法对于问题（1）具有一定的限制性;又由于p-Laplace算子的存在,我们一般不能从un→u于W01,p（Ω）中弱收敛直接得到于Lp/p-1（Ω,RN）中弱收敛,这也为我们解决问题（1）解的存在性提出了挑战;此外,求解奇异椭圆方程时,方程右端项h（x）起着至关重要的作用,它的性态和形式往往会决定求解的方法和复杂程度.问题（1）中的非齐次项h（x）是L1（Ω）中函数,具有较弱的正则性,也为我们求解奇异椭圆问题带来了很大的困难.为了克服以上困难,我们通过构造W01,p（Ω）中适当的集合（包含Nehari流形作为特殊情形）,将问题（1）限制在此集合上来保证奇异项的可积性,然后考虑相应奇异能量泛函在此集合上的约束极小问题.借助Ekeland变分原理和一些分析技巧我们得到了问题（1）存在W01,p（Ω）解的充分必要条件.此外,借助p-Laplace算子的单调性证明了问题（1）W01,p（Ω）解的唯一性.这一章的主要结果如下:定理1.设Ω（?）RN ≥ 1）是具有光滑边界的有界区域,p>1,γ>1,∈ 1(h是正函数（即h（x）>0几乎处处于Ω上）,则问题（1）存在唯一的W01,p（Ω）解当且仅当存在函数u0∈W01,p（Ω）使得在第三章中,我们研究一类p-Kirchhoff型非线性奇异椭圆方程的Dirichlet边值问题其中,Ω（?）（RN ≥ 1）是具有光滑边界的有界区域,p>1,0≤g≤p-1,γ>1是实数,B:R+ → R+ 是具有正下界的 C1 函数,-△pu =-div（|▽u|p-2▽u）,h（x）∈ L1（Ω）是一正函数（即h（x）0几乎处处于Ω上）,k(x∈ L∞（Ω）是非负函数.对于方程（2）,除了具有强奇性（7>1）外,它的另一个显着特点就是二阶项的系数与∫|▽u|pdx有关,因此方程（2）本身不再是一个逐点意义下的等式.通常B（1/p∫Ω|▽u|pdx）被称为非局部项,方程（2）因此也被称为非局部方程.正是由于非局部项的存在,我们一般不能从un→a u于W01,p（Ω）中弱收敛直接得到B（1/p∫Ω|▽un|pdx）→B（1/p∫Ω|▽u|pdx）,这也是解决非局部问题的最大困难所在.同第二章一样,为了克服奇异项以Ω及非局部项所带来了困难,我们需要构造W01,p（Ω）中特殊的集合来保证奇异项的可积性.通过考虑问题（2）相应的奇异能量泛函在特殊构造的集合上的约束极小问题,借助Ekeland变分原理及一些分析技巧我们得到了极小化序列在W01,p（Ω）中强收敛,给出了问题（2）存在W01,p（Ω）解的充分必要条件.在第三章第二节中,我们首先就问题（2）中p = 2,k（x 三0的特殊情形进行了讨论.此时假设B还满足如下条件（B1）B’（s）>0,（?）s>0.（B2）存在常数α>0,β>0,M>0,使得B（s）>βsα,（?）s>M,其中B（s）= ∫0s B（τ）dτ.这部分的主要结果如下:定理2.设Ω（?）RN（N ≥ 1）是具有光滑边界的有界区域,p = 2,γ>1,k（x）三0,h（x）∈ LQ）是一正函数数(即h（（x）>0 几乎处处处于Ω上）,,B:R+→ R+是具有正下界的C1函数且满足假设条件（B1）和（B2）,则问题（2）存在唯一的H01（Ω）解当且仅当存在函数u0∈H01（Ω）,使得∫Ωh（x）|u0|1-γdx<+∞.在第三章第三节中,我们将问题（2）推广到了 p>1且具非线性增长项的一般情形.此时假设B还满足如下条件（B3）B’（s）>0,（?）s>0.（B4）存在常数α ≥ 1+q/p,β>0,M>0,使得B（s）>βsα,（?）s>M,其中,B（s）= ∫0s B（τ）dτ.特别地,当α = 1+q/p时,我们要求,其中S>0是从W01,p（Ω）到Lq+1（Ω）的嵌入常数.这部分的主要结果如下:定理3.设Ω（?）RN（N ≥ 1）是具有光滑边界的有界区域,p>1,0 ≤ g≤p-1,γ>1.,h（x）∈ L1（Ω）是一正函数（即 h（x）>0 几乎处处于 上）,k（x）∈L∞（Ω）是一非负函数,B:R+ → R+是具有正下界的C1函数且满足假设条件（B3）和（B4）,则问题（2）至少存在一个W01,p（Ω）解当且仅当存在函数u0∈W01,p（Ω）,使得定理4.当k（x）≡0 时,若问题（2）存在W01,p（Ω）解,则该解是唯一的.在第四章中,我们研究一类具退化强制项和自然增长条件梯度项的p-Laplace奇异椭圆方程的Dirichlet边值问题其中,Ω（?）（N ≥ p）是一有界区域,p>1,γ,θ>0,f是某一 Lebesgue空间Lm（Ω）（m ≥ 1）中的非负函数.注意到当u趋于无穷大时,趋于零,因此问题（3）中的微分算子A（u）=在W01,p（Ω）中不是强制的.我们使用截断方法,用非退化强制和非奇异算子分别逼近退化强制项 和奇异项 然后通过选取适当的检验函数得到逼近解序列{un}的一系列先验估计.最后通过极限过程得到问题（3）解的存在性以及正则性等结果.这里比较关键的是证明逼近解序列及其梯度的一些强收敛的结果,对此我们将通过选取合适的检验函数来实现.我们的主要结果如下:定理5.设0<θ<1，f是Lm（Ω）中的非负函数,若（?）,则存在一个在Ω内沿革正的函数u（?）,使得（?）,且对任意（?）都有（?）定理6.设0<θ<1,f是Lm（Ω）中的非负函数.若N/pN-θ（N-1）<m<pN/pN-θ（N-p）,则存在一个在Ω内严格正德函数u∈W01,σ（∈）,σ=mN（p-θ）/N-θm,使得|▽u|p/uθ∈L1（Ω）且对任意φ∈01（Ω）都有定理7.设1≤ θ<p,γ>θ-1,f是Lm（Ω）中的非负函数.若且对每个紧子集ω（?）（?）Ω都有则存在一个在Ω内严格正的函数u ∈ W01,p（Ω）,使得 且对任意φ∈W01,p（Ω）∩L∞（Ω）都有定理8.设1 ≤ θ<p,γ>θ-1,f是Lm（Ω）中的非负函数.若N/（pN-θ（N-1））<m<pN/（pN-θ（N-p））,且对每个紧子集ω（?）（?）Ω都有则存在一个在Ω内严格正的函数且对任意φ∈C01Ω 都有在第五章中,我们借助位势井族理论定性地研究几类具p-Laplace算子的薄膜方程.我们首先研究一类具非局部源项 的p-Laplace型薄膜方程其中,Ω是R中的有界开区间,T ∈((0,+∞],p>1,g>mmax{1,p-1},u0 ∈H.这我们首先构造问题（4）对应的Lyapunov泛函J（u）和Nehari泛函Ⅰ（u）,引进改进的位势井族.通过分析相应泛函和位势井族,并结合Galerkin逼近方法及凸方法,我们得到了问题（4）在具次临界初始能量时,即J（u0）<d时（d为问题（4）相应的位势井的井深）,弱解整体存在、有限时间爆破、有限时间熄灭的门槛结果.对于具临界初始能量J（u0）= d的情形,通过对初值进行扰动,我们也得到了相应的结果.此外,我们也给出了问题（4）弱解的唯一性的证明并对整体弱解的渐近性进行了刻画.最后我们给出了问题（4）的解在有限时间爆破的数值模拟.这部分的主要结果如下:定理 9.设 p>1,g>max{1,p-1} u0∈H.若J（u0）<d,I（u0）>0,问题(4题存在唯一的整体弱解u ∈ L∞（0,∞;H2（Ω））,ut∈ L2（0,∞;L2（Ω））.此外,u不会在有限时间熄灭,且定理10.设p>1,q>max{1,P-1},u0∈H,u是问题（4）的弱解.若J（u0）<d,I(u0<0,则存在有限时间T,使得u在T时刻爆破,即定理 11.设p>1,q>max{1,p-1},u0 ∈.若J（u0）=d,I（u0）≥ 0,问题(4存在唯一的整体弱解 u ∈ L∞（0,∞;H2（Ω））,ut ∈ L2（0,∞;L2（Ω））,并且 I（u）≥ 0.此外,若对任意t>0都有I（u）>0,则解不会在有限时间熄灭,且否则,解在有限时间熄灭.定理12.设p>1,q>max{1,p-1},u0∈H,u是问题（4）的弱解,若J（u0）=d，I（u0）<0,则存在有限时间T,使得u在T时刻爆破，即接下来,我们将问题（4）的结果推广到具非局部源项（?）的p-Kirchhoff型薄膜方程其中，Ω（?）R是有界开区间,T∈（0,+∞）,p>1,q>2p-1,a>0,b>0,u0∈H.同样地，构造问题（5）对应的Lyapunov泛函J（u）和Nehari泛函I（u）,借助位势井族理论我们得到了与问题（4）平行的结果.用d表示问题（5）相应的位势井井深，这部分的主要结果如下：定理 13.设 p>1,q>2p-1,u0∈H.若J（u0）<d,I（u0）>0,则问题（5）存在唯一的整体弱解u∈L∞（0,∞;H2（Ω））,ut∈L2（0,∞;L2（Ω））.此外,u不会在有限时间熄灭，且定理14.设p>1，q>2p-1,u0∈H,u是问题（5）的弱解.若J（u0）<d,I（u0）<0,则存在有限时间T,使得u在T时刻爆破,即定理 15.设p>1,g>2p-1,u0 ∈ H.若 J（u0）= d,I（u0）≥ 0,则问题（5）存在唯一的整体弱解 u ∈L∞（0,∞;H2（Ω））,∈L2(（0,∞;L2（Ω））,并且I（u）≥ 0此外,若对任意t>0都有I（u）>0,则解不会在有限时间熄灭,且否则,解在有限时间熄灭.定理16.设p>1,g>-1,u0∈H,u是问题（5）的弱解.若J（u0）= d,I（u0）<0,则存在有限时间T,使得u在T时刻爆破,即。
潘恩德[10]（2017）在《Banach空间中分数阶微分方程的泛函方法》文中认为本硕士论文,作者主要运用锥理论及分析技巧.在较弱单调性条件下.研究了序Banach空间E中的边值问题最大最小解的存在性及单调迭代序列.全文共分五章:第一章,主要介绍了研究背景和主要工作.第二章,利用强极小锥与K-集压缩算子,研究了含积分边界条件的分数阶微分方程解的存在性,最大最小解的存在性及单调迭代序列.第三章,我们运用不动点定理研究了下列问题解的存在性,其中3<α≤4,x（t）:[[0,1]→R,f:[0,1]×R →R是连续的.第四章,研究了非线性分数阶微分方程边值问题正解存在性.第五章,我们研究如下具有Caputo型导数的局部共振问题解的唯一性.
二、关于Emden-Fowler型方程的非局部边值问题（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、关于Emden-Fowler型方程的非局部边值问题（论文提纲范文）
（1）分数阶方程的可解性与稳定性（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 符号注释 |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 研究背景与现状 |
| §1.2 研究的主要内容 |
| §1.3 预备知识 |
| 第二章 分数阶q-差分方程积分边值问题的解 |
| §2.1 含Stieltjes积分条件的非局部q-分数阶边值问题 |
| §2.1.1 引言与预备知识 |
| §2.1.2 主要结论 |
| §2.2 含积分边值条件的分数阶q-差分方程解的存在性 |
| §2.2.1 引言与预备知识 |
| §2.2.2 主要结论 |
| 第三章 分数阶微分系统解的存在性与唯一性 |
| §3.1 具有双边记忆效应的p-Laplacian广义分数阶耦合系统的可解性 |
| §3.1.1 引言与预备知识 |
| §3.1.2 “A+B+e”型算子的不动点定理 |
| §3.1.3 主要结论 |
| §3.2 半轴上分数阶耦合系统解的存在性与唯一性 |
| §3.2.1 引言与预备知识 |
| §3.2.2 主要结论 |
| 第四章 广义分数阶微分系统解的存在唯一性与稳定性 |
| §4.1 广义分数阶微分系统的Mittag-Leffler稳定性分析与应用 |
| §4.1.1 引言与预备知识 |
| §4.1.2 主要结论 |
| §4.1.3 在忆阻神经网络中的应用及数值仿真 |
| §4.2 中立型广义分数阶微分系统的有限时间稳定性分析与应用 |
| §4.2.1 引言与预备知识 |
| §4.2.2 主要结论 |
| §4.2.3 在忆阻神经网络中的应用及数值仿真 |
| 第五章 总结与展望 |
| §5.1 结论总结 |
| §5.2 未来展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间的主要研究成果 |
| 致谢 |
| 个人简介及联系方式 |
（2）几类椭圆型方程（组）的约束变分以及自由变分问题的研究（论文提纲范文）
| 内容摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 问题的背景及研究现状 |
| 1.2 本文的记号 |
| 1.3 定义及引理 |
| 1.4 本文的主要工作 |
| 1.5 结构安排 |
| 第二章 含Sobolev临界指数的Kirchhoff型方程规范化解的存在性与渐近性 |
| 2.1 问题的提出及主要结果 |
| 2.2 预备知识 |
| 2.3 E_(μ|S_c)上的Palais-Smale序列的紧性分析 |
| 2.4 混合L~2-临界的情形 |
| 2.4.1 混合L~2-临界情形下E_(μ|S_c)的某些临界点的精确位置和类型 |
| 2.4.2 混合L~2-临界情形下的存在性和渐近性结果的证明 |
| 2.5 纯L~2-超临界的情形 |
| 2.5.1 纯L~2-超临界的情形下E_(μ|S_c)的某些临界点的精确位置和类型 |
| 2.5.2 纯L~2-超临界情形下的存在性和渐近性结果的证明 |
| 第三章 带有三体缺失的Gross-Pitaevskii方程的规范化基态解的存在性与渐近性 |
| 3.1 问题的提出及主要结果 |
| 3.2 预备知识 |
| 3.3 局部极小化问题的紧性分析 |
| 3.4 修正的能量上界估计 |
| 3.5 定理3.1.1-3.1.2的证明 |
| 第四章 R~n上带有Hardy项的双临界分数次Laplace方程非平凡弱解的存在性 |
| 4.1 问题的提出及主要结果 |
| 4.2 预备知识 |
| 4.3 H~s(R~n)空间中修正的Sobolev不等式 |
| 4.4 极小化问题(4.1.10)-(4.1.11)可达 |
| 4.5 定理4.1.1的证明 |
| 第五章 乘积Sobolev空间中修正的Sobolev不等式及其在双临界耦合方程组中的应用 |
| 5.1 问题的提出及主要结果 |
| 5.2 预备知识 |
| 5.3 定理5.1.1-5.1.4的证明 |
| 5.4 极小化问题(5.1.23)-(5.1.24)可达 |
| 5.5 定理5.1.5的证明 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间已发表和待发表的论文 |
| 致谢 |
（3）四阶非局部基尔霍夫方程的多重解（论文提纲范文）
| 0 引 言 |
| 1 主要结果 |
| 2 预备知识和变分框架 |
| 3 定理的证明 |
（4）R3上奇异椭圆方程解的存在性及渐近性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 绪论 |
| 0.1 问题的背景及研究现状 |
| 0.2 假设条件、解空间及主要内容 |
| 0.3 符号说明及预备知识 |
| 第1章 弱奇异Choquard方程解的唯一性及渐近性 |
| 1.1 引言及主要结论 |
| 1.2 准备工作 |
| 1.3 解的唯一性 |
| 1.4 λ→λ0~+时解的渐近性 |
| 第2章 弱奇异Choquard方程的多解性及渐近性 |
| 2.1 引言及主要结论 |
| 2.2 准备工作 |
| 2.3 多解性 |
| 2.4 λ→0~+时解的渐近性 |
| 第3章 具有临界指数的弱奇异Choquard方程的多解性及渐近性 |
| 3.1 引言及主要结论 |
| 3.2 准备工作 |
| 3.3 基态解的存在性及渐近性 |
| 3.4 第二个正解的存在性及渐近性 |
| 第4章 具有临界指数的弱奇异椭圆方程k+1个解的存在性及渐近性 |
| 4.1 引言及主要结论 |
| 4.2 准备工作 |
| 4.3 基态解的存在性及渐近性 |
| 4.4 k个正解的存在性及渐近性 |
| 第5章 弱奇异分数阶Schrodinger-Poisson系统解的唯一性及渐近性 |
| 5.1 引言及主要结论 |
| 5.2 准备工作 |
| 5.3 解的唯一性和单调性 |
| 5.4 λ→0~+时解的渐近性 |
| 第6章 强奇异分数阶Schrodinger-Poisson系统解的唯一性及渐近性 |
| 6.1 引言及主要结论 |
| 6.2 解的唯一性和单调性 |
| 6.3 λ→0~+时解的渐近性 |
| 第7章 弱奇异分数阶Kirchhoff型方程解的唯一性及渐近性 |
| 7.1 引言及主要结论 |
| 7.2 准备工作 |
| 7.3 解的唯一性 |
| 7.4 b→0~+时解的渐近性 |
| 第8章 强奇异分数阶Kirchhoff型方程解的唯一性及渐近性 |
| 8.1 引言及主要结论 |
| 8.2 解的唯一性 |
| 8.3 b→0~+时解的渐近性 |
| 第9章 总结 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间承担的科研任务与主要成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（5）分数阶微分方程及其在传染病学中的应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 选题背景及意义 |
| 1.2 分数阶微分方程简介 |
| 1.3 国内外研究现状 |
| 1.4 本文的主要工作 |
| 1.5 预备知识及符号说明 |
| 第二章 具有和式非线性项的分数阶微分方程多点边值问题 |
| 2.1 问题简介 |
| 2.2 “A+B+C”型算子的不动点定理 |
| 2.3 “A+B+C+D”型算子的不动点定理 |
| 2.4 多点边值问题正解的存在性与唯一性 |
| 2.5 应用及举例 |
| 第三章 非线性项含任意常数的分数阶微分方程两点边值问题 |
| 3.1 问题简介 |
| 3.2 准备工作 |
| 3.3 P_(h,e)集合上混合单调算子的不动点定理 |
| 3.4 两点边值问题非平凡解的存在性与唯一性 |
| 3.5 应用及举例 |
| 第四章 具有和式非线性项的奇异分数阶微分方程三点边值问题 |
| 4.1 问题的由来及准备工作 |
| 4.2 格林函数的求解及其性质 |
| 4.3 奇异微分方程正解的存在性与唯一性 |
| 4.4 应用及举例 |
| 第五章 基于HIV感染过程的抽象分数阶微分方程组解及其最优控制 |
| 5.1 问题由来及准备工作 |
| 5.2 正解的存在性与唯一性 |
| 5.3 最优控制的存在性 |
| 5.4 应用及举例 |
| 第六章 具有免疫接种的分数阶SVIR传染病模型解的存在唯一性 |
| 6.1 模型的建立 |
| 6.2 模型的简化及准备工作 |
| 6.3 抽象分数阶微分方程解的存在唯一性 |
| 6.4 SVIR模型非负解的存在唯一性 |
| 第七章 Caputo型分数阶SVIR模型的动力学性质分析 |
| 7.1 问题的由来及准备工作 |
| 7.2 无病平衡点及其局部渐进稳定性 |
| 7.3 地方平衡点及后向分支的存在性 |
| 7.4 模型的生物意义 |
| 第八章 总结和展望 |
| 8.1 本文的主要工作及创新特色 |
| 8.2 下一步工作设想 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间的主要研究成果 |
（6）几类退化椭圆型方程（组）的Liouville型定理及其解的性质（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 Heisenberg群简介 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 Liouville型定理研究概况 |
| 1.2.2 奇异椭圆方程研究概况 |
| 1.2.3 Schr?dinger-Poisson型系统研究概况 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 1.4 预备知识 |
| 1.4.1 本文相关符号说明 |
| 1.4.2 相关定义和引理 |
| 2 一类次椭圆不等式(组)的Liouville型定理 |
| 2.1 Liouville型定理 |
| 2.2 Liouville型定理的证明 |
| 3 一类奇异次椭圆方程的Dirichlet问题 |
| 3.1 解的存在唯一性及其对称性结果 |
| 3.2 奇异次椭圆方程的逼近问题 |
| 3.3 主要结果的证明 |
| 4 一类Schr?dinger-Poisson型次椭圆系统解的存在性 |
| 4.1 主要结果 |
| 4.2 u_ε的估计及其变分框架 |
| 4.2.1 u_ε的估计 |
| 4.2.2 变分框架 |
| 4.3 主要结果的证明 |
| 4.3.1 第一个正解的存在性 |
| 4.3.2 第二个正解的存在性 |
| 4.3.3 基态解的存在性 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录 |
（7）几类非线性常微分方程边值问题正解的存在性研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及现状 |
| 1.2 本文的主要内容及研究框架 |
| 1.3 本文常用的定义与引理 |
| 第二章 两类二阶非线性常微分方程边值问题Green函数的研究 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.2 一类二阶周期边值问题的Green函数 |
| 2.3 一类二阶m点边值问题的Green函数 |
| 第三章 两类二阶非线性常微分方程Sturm-Liouville边值问题正解的存在性.. |
| 3.1 一类二阶Sturm-Liouville两点边值问题两个正解的存在性 |
| 3.1.1 预备知识 |
| 3.1.2 主要定理及证明 |
| 3.2 一类具变号非线性项的Sturm-Liouville m点边值问题正解的存在性 |
| 3.2.1 预备知识 |
| 3.2.2 主要定理及证明 |
| 第四章 两类三阶非线性常微分方程m点边值问题正解的存在性 |
| 4.1 一类奇异三阶m点边值问题正解的存在性 |
| 4.1.1 预备知识 |
| 4.1.2 主要定理及证明 |
| 4.2 一类具变号非线性项的三阶m点边值问题三个正解的存在性 |
| 4.2.1 预备知识 |
| 4.2.2 主要定理及证明 |
| 第五章 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士期间发表的论文 |
| 后记 |
（8）两类带有双调和算子的椭圆型方程（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 2 非局部四阶基尔霍夫型椭圆方程的非平凡解 |
| 2.1 引言与主要结果 |
| 2.2 预备知识 |
| 2.3 解的存在性证明 |
| 3 一类双局部四阶椭圆方程的多重变号解 |
| 3.1 引言与主要结果 |
| 3.2 预备知识 |
| 3.3 解的存在性证明 |
| 参考文献 |
| 在读期间发表的学术论文及研究成果 |
| 致谢 |
（9）几类具p-Laplace算子的椭圆型和抛物型方程解的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景和研究内容 |
| 1.2 预备知识 |
| 第2章 p-Laplace奇异椭圆方程1 |
| 2.1 问题介绍 |
| 2.2 主要结果及证明 |
| 第3章 p-Kirchhoff型奇异椭圆方程 |
| 3.1 问题介绍 |
| 3.2 Kirchhoff型奇异椭圆方程 |
| 3.3 带增长项的p-Kirchhoff型奇异椭圆方程 |
| 第4章 带退化强制项的p-Laplace奇异椭圆方程 |
| 4.1 问题介绍 |
| 4.2 逼近问题和先验估计 |
| 4.3 主要结果及证明 |
| 第5章 p-Laplace型薄膜方程解的整体存在、爆破和熄灭 |
| 5.1 问题介绍 |
| 5.2 位势井理论 |
| 5.3 p-Laplace型薄膜方程解的整体存在、爆破和熄灭 |
| 5.4 p-Kirchhoff型薄膜方程解的整体存在、爆破和熄灭 |
| 第6章 总结与展望 |
| 6.1 总结 |
| 6.2 展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间所取得的科研成果 |
| 致谢 |
（10）Banach空间中分数阶微分方程的泛函方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 前言 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 本文主要工作 |
| 第二章 Banach空间非局部非共振分数阶微分方程的上下解 |
| 2.1 引言和预备知识 |
| 2.2 主要结果 |
| 第三章 分数阶微分方程非局部非共振边值问题的解 |
| 3.1 引言和预备知识 |
| 3.2 主要结果 |
| 第四章 分数阶微分-积分方程边值问题的正解 |
| 4.1 引言和预备知识 |
| 4.2 主要结果 |
| 第五章 局部共振分数阶微分方程边值问题的解 |
| 5.1 引言和预备知识 |
| 5.2 主要结果 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 三年期间论文成果 |
| 附件 |
四、关于Emden-Fowler型方程的非局部边值问题（论文参考文献）
- [1]分数阶方程的可解性与稳定性[D]. 任晶. 山西大学, 2021(01)
- [2]几类椭圆型方程（组）的约束变分以及自由变分问题的研究[D]. 杨涛. 华中师范大学, 2021
- [3]四阶非局部基尔霍夫方程的多重解[J]. 张海燕,莫帅,赵月云,毛安民. 曲阜师范大学学报(自然科学版), 2021(02)
- [4]R3上奇异椭圆方程解的存在性及渐近性[D]. 余胜斌. 福建师范大学, 2020(12)
- [5]分数阶微分方程及其在传染病学中的应用[D]. 王慧. 太原理工大学, 2019(04)
- [6]几类退化椭圆型方程（组）的Liouville型定理及其解的性质[D]. 安育成. 南京理工大学, 2020(01)
- [7]几类非线性常微分方程边值问题正解的存在性研究[D]. 刘慧. 南京财经大学, 2019(04)
- [8]两类带有双调和算子的椭圆型方程[D]. 王文清. 曲阜师范大学, 2018(01)
- [9]几类具p-Laplace算子的椭圆型和抛物型方程解的研究[D]. 李清微. 吉林大学, 2017(10)
- [10]Banach空间中分数阶微分方程的泛函方法[D]. 潘恩德. 上海师范大学, 2017(01)