一、Lp空间中随机过程泛函的某些收敛性（论文文献综述）
杨晋达[1]（2021）在《最优控制问题和随机优化问题的数值方法研究》文中进行了进一步梳理本文考虑两类优化问题的数值方法:最优控制问题和随机优化问题.最优控制问题在过去几十年内迅速地发展为应用和计算数学领域中的重要分支.最优控制问题是科学研究,工业与工程,金融投资等众多学科或过程中涉及到具体实现的关键问题,例如地球物理,气候科学,材料科学,医学成像,形状设计,机械制造,期权定价等等.层出不穷的实际问题,持续地推动着最优控制问题的理论和方法的发展,不停地激发着研究者们设计和分析求解最优控制问题的数值方法的热情与动力.最优控制问题的目标是:以期望的方式影响或者控制由偏微分方程描述的系统,找到系统内满足要求的最优的“控制”,从而使得系统内的“状态”尽可能地接近或者达到理想的状态.我们主要考虑带Possion方程约束最优控制问题的数值求解方法,其形式可以抽象地表述为以下Banach空间中的线性约束凸优化问题:（?）J（y,u）=Φ（y）+Ψ（u）s.t.Ay+Bu=p,u∈uad.这里函数u表示系统中的“控制”,函数y表示系统中的“状态”,线性约束Ay+Bu=p由不同类型的Possion方程的变分形式描述.我们借助有限元方法对连续形式的最优控制问题进行离散,得到Rn中的线性约束优化问题:（?）Jh（yh,uh）=Φh（yh）+Ψh（uh）s.t.Ayh+Buh=ph,uh∈Uadh,这里矩阵A,B为有限元离散后形成的刚度矩阵,yh,uh,ph为Rn中的向量.可以明显地看出,上述问题具有可分离结构,一个自然的想法是借助交替方向乘子法求解这类问题.交替方向乘子法是一类广为人知的优化算法,能够高效地求解带线性约束的可分离结构型凸优化问题.对于不同控制类型的Possion方程约束最优控制问题的离散形式,本文设计了不同的交替方向乘子法迭代格式进行求解.本文数值方法的误差分析,包括有限元离散的逼近误差和交替方向乘子法的迭代误差,同时以目标泛函的形式|J（y*,u*）-Jh（yhK,uhK）|给出总体的误差估计,其中（y*,u*）表示Possion方程约束最优控制问题的最优解,（yhK,yhK）表示离散问题的迭代解,符号K表示迭代总次数.针对本文设计的数值方法,我们进行不同的数值试验,试验结果表明我们的数值方法能够有效地数值求解该类最优控制问题.随机优化问题的身影在人工智能领域随处可见.统计学习,机器学习和深度学习等技术的实现依赖于随机优化问题的求解,由此产生的智能系统:搜索引擎、推荐平台、语音和图像识别软件等等,已经成为我们日常生活不可或缺的一部分.随机优化方法在不同学习模型中的成功应用和实践,始终推动着研究人员寻求解决不同随机优化问题的新方法.本文提出分块镜像随机梯度方法用以求解随机优化问题（?）f（x）=E[F（x,ξ）],和随机复合优化问题#12与一般的问题不同,本文考虑问题的可行域χ具有可分结构,而且变量x相应地能够分为若干独立的子块.本文设计的分块镜像随机梯度方法吸收了经典的镜像随机逼近方法和分块坐标梯度下降方法的特点,前者能够高效地求解随机优化问题或者大规模优化问题,后者处理变量拥有多个分块结构的优化问题的效果显着.基于随机一阶策略构造的随机次梯度,分块镜像随机梯度方法在每一步迭代中以Gauss-Seidel类的更新方式循环地更新每个子块,并且可以任意的选择各个子块的迭代顺序.我们分析了该算法对于随机优化问题在一般的凸情形和在强凸情形下的收敛性,同时也建立了对于随机复合优化问题在一般凸情形,强凸情形以及非凸情形下的收敛性分析.对于一般的凸情形以及强凸情形下的随机优化问题和随机复合优化问题,分块镜像随机梯度方法的收敛率与经典的随机梯度法完全一致.对于随机复合非凸优化问题,我们借助复合投影梯度的概念分析了算法的收敛性质,对迭代点收敛到稳定点的收敛率进行了估计.不论是凸情形还是非凸情形,本文的收敛性分析都不是平凡的.Gauss-Seidel类型的子块更新方式使得传统的梯度误差无偏假设不再成立,因此我们需要提出更有针对性的假设,同时进行相应的分析.本文的数值试验表明,分块镜像随机梯度方法能够有效地用于求解随机优化问题.与已有的随机优化方法相比较,分块镜像随机梯度方法在不同方面的表现更好.
岳铭[2]（2021）在《非定态中子迁移方程的均值投影方法》文中指出迁移方程是一类研究系统宏观迁移现象的数学模型,可以表达为含有微分-积分形式的方程,广泛应用于物理学、工程学、量子化学等诸多领域.迁移方程的特征值问题一直是一类重要的研究课题,特征值及特征元的数值解法也受到许多研究学者的关注.本文主要研究一类具有固定边界条件的、反射和裂变是各向同性的、稳态的、非定态的一维平板几何中子迁移方程及其特征值相关问题,针对此方程在Lp（1<p<∞）空间中考虑了一种离散化的均值投影方法,用区间均值代替区间函数值对方程中给定的速度变量进行离散,定义了均值投影算子,验证了算子的性质,给出了该中子迁移方程离散化的均值投影算法,并将其用于特征值和特征元的收敛性分析.最终,在理论上证明了近似特征值和特征元的收敛性,得到了较高的收敛速度,进一步验证了均值投影方法的合理性.所得结果与已有的多群逼近理论和离散纵坐标方法相比,得到了更高的收敛阶数,特征值和特征元的收敛速度更快.在实际进行应用时,这会在很大程度上减少计算的工作量、降低误差率、得到与解析解更加接近的结果.而且,不仅对原迁移方程的计算有很大帮助,本文所得结果也为研究其他类型的迁移方程提供了思路,同时,对未来研究迁移方程及其理论也具有十分重要的意义.
林一伟[3]（2020）在《动态风险度量极限理论及其应用》文中研究指明作为一门独立学科,金融自诞生以来一共经历了三次重大变革.第一次金融革命起源于1952年,Markowitz[63]提出的基于均值-方差分析的现代投资组合理论（MPT）.它标志着现代经济金融理论的诞生.在[63]中,Markowitz利用方差来度量证券预期收益的风险,并且利用投资组合中任意两个证券之间的协方差来刻画投资组合的风险水平.第二次金融革命的起点是连续时间模型（continuous time model）的提出.1969年,Merton[65]提出了连续时间模型下的最优投资组合理论.随后,在1973年,Black和Scholes[9]以及Merton[66],分别利用连续时间模型得到了欧式股票期权的定价公式.连续时间模型的提出为解决期权定价问题和其他金融衍生品的相关问题提供了理论基础.最近的一次金融革命,也就是第三次金融革命,则兴起于1997年,Artzner et al.[2,3]提出的相容风险度量（coherent risk measure）理论,这也是本篇论文研究的主要问题.事实上,随着金融市场的不断发展,以及金融衍生品的不断创新,银行和保险等金融公司所面临的金融风险的种类越来越多,例如市场风险,信用风险,操作风险,模型风险和流动性风险等[64].如何找到一种整体风险度量（integrated risk measure）模型来综合考虑所有类型的金融风险及其相互作用,有效地管控和对冲风险,甚至通过设计金融衍生品,重新打包风险,通过市场来管理风险,就显得尤为.甚至可以说,风险度量是银行和保险等金融公司的核心竞争力.1996年,巴塞尔银行监管委员会颁布了针对1988年通过的Basle Ⅰ的修正案（the 1996 Amendment）[6],规定银行及其监管机构使用在险价值VaR（Value at Risk）作为度量风险的工具,并且制定利用VaR计算银行所需保证金的最低标准.然而,越来越多的学者指出VaR作为一种广泛应用的整体风险度量模型在风险度量上的不足,参考Daykin et al.[20],Embrechts et al.[32],Artzner et al.[3],Acerbi和Tasche[1],Tasche[89]等.一方面,VaR只能控制损失发生的概率,而无法衡量小概率事件发生后损失的具体规模.更重要的是,VaR通常不满足Artzner et al.[3]提出的相容风险度量的公理化特征,即不具有次可加性,这也是使用VaR时通常会造成不鼓励分散投资的原因,即投资组合的整体风险大于组合中每种资产各自风险的总和（关于VaR不满足次可加性的例子我们会在第一章中具体给出）.另一方面,VaR的计算依赖于金融产品的概率分布,而在概率分布不确定时,VaR无法很好地度量风险.根据Knight在[56]中给出的着名区分,金融市场中存在两种不确定性.第一种不确定性,被称为Knight意义下的风险（Knight risk）,对应的情况是,所有金融产品的收益或损失都具有明确的概率分布,并且每一个市场参与者都能对此达成共识.第二种不确定性,被称为Knight不确定性（Knight uncertainty）,在Ellsberg[31]中也被称为模糊性（ambiguity）,对应的情况是,金融产品的收益或损失并不具有明确的并且被所有市场参与者都共同认可的概率分布,也就是说市场参与者对同一金融产品可能产生的收益或损失的态度对应于一族概率测度集合P:={P1,P2…}.1961年,为了清楚地解释Knight意义下的风险和不确定性的区别,Ellsberg提出了着名的埃尔斯伯格悖论（Ellsberg’s Paradox）.因此如何找到能够替代VaR,并且能够度量带有Knight不确定性的风险的相容风险度量,成为一个具有重要实际意义的金融和数学问题.Delbaen[23]将相容风险度量推广到一般概率空间,Follmer和Schied[38,39,40]以及Frittelli和Rosazza Gianin[41]研究了更一般的情形,提出了凸货币风险度量的概念.为了定量分析和计算现实生活以及金融市场中的Knight不确定性,2004年,Peng[72,74,75]跳出经典的Kolmogorov概率公理体系（Ω,F,P）,转而从期望角度出发,建立了次线性期望理论框架（Ω,H,E）.在次线性期望空间（Ω,H,E）中,Peng[75,76,80]利用次线性期望E给出了次线性分布和独立的定义,进而定义了次线性期望空间中的两种全新的分布,最大分布和G-正态分布,得到了大数定律和中心极限定理,并且引入了最重要的次线性期望空间,G-期望空间.实际上,Artzner et al.[3]和Delbaen[23]介绍的相容风险度量本质上就是一种次线性期望,而Peng的次线性期望相较于相容风险度量更突出的优势是考虑了相互奇异的不确定概率,这使得次线性期望拥有更广泛的应用空间.Merton[67]指出,“时间和不确定性是影响金融经济行为的核心因素”,单纯的静态风险度量无法准确地刻画金融市场的动态信息对金融风险的影响.Peng[70]通过研究一类非线性的倒向随机微分方程（BSDE）引入了g-期望的概念,得到了满足时间一致性的动态风险度量,g-风险度量,参考 Delbaen et al.[25],Peng[73],Rosazza Gianin[85].此外,Artzner et al.[4],Delbaen[24],Riedel[83],Roorda et al.84]等给出了满足时间一致性的相容风险度量的例子和特征.在决策论框架中,Epstein和Zin[35],Duffie和Epstein[29],Wang[94],Epstein 和 Schneider[34]研究了偏好的时间一致性.因此,我们想系统地研究能够保证动态相容风险度量满足时间一致性的各种条件,分析它们之间的联系和区别,找出能够保证时间一致性的最简单的动态相容风险度量.另一方面,随着金融科技（FinTech）的迅速发展,大数据,云计算,人工智能以及区块链等创新技术的广泛应用,金融市场中产生的数据实现了爆炸式增长,其中任意微小的差异积累起来都有可能导致不可估量的金融风险.正如前面提到的那样,这些海量的金融数据蕴含着不可忽视的Knight不确定性,导致经典概率框架下独立同分布的假设不再适用,因此如何对这些金融数据进行合理地数学建模,给出全新的考虑Knight不确定性的独立性假设,并且利用动态风险度量对金融数据的极限行为进行定量地分析和计算,掌握金融风险的极限状态,就成为一个亟待解决的问题.实际上,就像大数定律和中心极限定理在经典概率和统计理论体系中占有重要位置一样,非线性框架下极限理论的研究也一直是经济学家和数学家们关心的基础性重要问题,相关工作可以参考Marinacci[62],Peng[71],Maccheroni 和 Marinacci[61],De Cooman 和 Miranda[21],Peng[78],Peng[80],Li 和 Shi[58],Chen et al.[17],Chen 和 Hu[15],Hu 和 Zhou[53],Chen[11],Zhang[97,98,99],Hu[50],Chen 和 Epstein[13]等.受上述问题和相关工作的启发,本文主要研究了满足时间一致性的动态相容风险度量及其极限理论.论文共分为七章,主要框架和结果如下:第一章本章研究的主要内容是动态相容风险度量时间一致性的刻画.我们首先回顾了风险度量理论的基础知识,给出相容风险度量的定义和表示定理,以及动态风险度量时间一致性的定义,并分别举例说明在险价值VaR和预期亏损ES这两种常见的风险度量工具的不足.之后为了研究动态相容风险度量满足时间一致性的各种条件,我们分别从概率和期望两个角度出发,研究了 Stability模型,Rectangularity模型,ⅡD模型,BU模型以及g-期望和次线性期望这六种不同的风险度量工具,给出这六种风险度量工具之间的联系和区别,为后续的研究工作打下基础.第二章本章研究的主要内容是动态相容风险度量的大数定律.第一部分,我们从一般动态相容风险度量出发,在只假设时间一致性成立,而不考虑风险度量的具体表示形式的条件下,对投资组合市场平均价值给出三种不同形式的大数定律,它们共同刻画了投资组合风险的极限行为,并为投资组合风险的数值计算提供了新的理论依据.第二部分,我们分别利用Stability模型和g-期望诱导出两种不同的时间一致的动态相容风险度量,并给出对应的大数定律.此外,我们还研究了 Stability模型诱导的时间一致的动态相容风险度量的存在唯一性条件,并利用g-期望诱导的时间一致的动态相容风险度量对由几何布朗运动驱动的金融资产进行风险评估.第三章本章研究的主要内容是Stability模型下随机变量阵列的大数定律.我们以上一章Stability模型诱导的时间一致的动态相容风险度量为基础,对上一章的主要结果进行推广,得到随机变量阵列满足的大数定律.同时,我们给出Stability模型下随机变量之间m-相依的定义,进而利用随机变量阵列的大数定律,对满足m-相依假设的随机变量序列给出相应的大数定律.第四章本章研究的主要内容是BU模型下的中心极限定理.在完成前两章关于动态相容风险度量大数定律的研究之后,本章中,我们考虑一种最简单的Stability模型——BU模型.本章的研究对象主要有两个,一个是BU模型对应的概率测度集合P,一个是经典概率空间中所有只在{σ,σ}中取值的可料过程构成的集合A.我们首先对P证明了一种特殊形式的时间一致性,并在A上得到了类似的结果.之后分别利用P和A构造出两列次可加泛函,并证明它们都满足动态规划原理.最后,在随机变量满足Lindeberg条件的假设下,利用得到的动态规划原理,证明了 BU模型诱导的动态相容风险度量的中心极限定理,建立了概率测度集合P和经典可料过程集合A之间的联系.我们得到的中心极限定理,既考虑了方差不确定性的影响,也考虑了均值不确定性对收敛性的影响,因此可以看做是对动态相容风险度量（或者次线性期望）领域中心极限定理的一种新的尝试.第五章本章研究的主要内容是G-布朗运动的分解定理.受上一章研究内容的启发,本章我们考虑G-布朗运动在同分布意义下的分解.我们首先回顾了经典概率框架下Ocone鞅的定义和相关性质以及Peng提出的G-期望空间中G-布朗运动的定义.之后对Denis et al.[26]中给出的G-布朗运动在经典概率框架下的随机积分表示进行进一步研究,得到一个更细致的刻画,证明了所有在[σ,σ]区间取值的随机过程关于布朗运动的随机积分的最大分布与只在{σ,σ}中取值的随机过程关于布朗运动的随机积分的最大分布相同,并由此得出G-布朗运动的分布与由一个标准布朗运动和一个Ocone鞅构成的线性组合的分布相同.最后利用这一分解定理,我们给出了第四章中BU模型下中心极限定理的新证明,并得到了关于G-正态分布的一个粗略刻画.第六章本章研究的主要内容是一般次线性期望下随机变量阵列的完全收敛性.本章中,我们放弃时间一致性这个条件,考虑一般的次线性期望（相容风险度量）.我们首先给出随机变量广义负相关的概念,并对广义负相关的随机变量序列给出了指数不等式.然后利用指数不等式对广义负相关的随机变量阵列给出了三种不同形式的完全收敛性.最后,作为应用,我们利用得到的结果证明了独立同分布的随机变量阵列的完全收敛性,并由Borel-Cantelli引理得到了独立同分布的随机变量阵列的强大数定律.第七章本章对本篇论文的主要工作和创新点进行总结,并对下一阶段的研究工作进行展望.
林霈泽[4]（2020）在《数值原子轨道下大规模周期性体系的高效杂化泛函计算》文中研究指明第一性原理计算在物理化学数值计算方法中占有重要的地位,近些年来其计算精度与计算速度都取得了很大的进展,也因此在更多领域被广泛应用。在这其中,杂化泛函计算是重要的一类计算,对很多重要的物理性质能得出比较准确的结果。但相比于传统密度泛函理论,杂化泛函的计算量非常大,计算耗时远高于传统密度泛函理论,这制约了其在大体系计算下的应用。为了加速杂化泛函计算,实现其大规模计算,我们在单位元分解（Resolution of Identity,简称RI）方法的基础上,发展出一套高效计算杂化泛函的方法,大大降低了其计算代价,使得杂化泛函的计算资源消耗量降至传统密度泛函理论的量级。只要一个体系能进行密度泛函计算,则其基本可以进行对应的杂化泛函计算。这对于各物理化学体系的精确计算能起到十分重要的作用。RI方法的核心之一是辅助基组,其质量将影响计算精度与计算时间。本工作重点之一在于辅助基组的构造方法。一方面对原有的on-site辅助基构造方法进行了扩展,在保持精度的前提下减少了所需辅助基数目。另一方面提出了新的opt辅助基构造方法。不同于on-site基组只考虑同原子情况,opt基组与化学环境相关,对实际杂化泛函计算拟合得更好。且opt基组数目不受限制,通过增加基组数目可以系统性提高计算精度,解决部分体系在原有辅助基组下计算不准确的问题。二者结合,实现了计算精度与计算速度两方面都优于原有辅助基组的效果。为了加速杂化泛函的计算,本研究提出了稀疏矩阵预筛选、计算框架视角转换、双中心积分备忘算法、周期性加速、矩阵乘顺序选择、Cauchy-Schwarz不等式矩阵预筛选、Cauchy-Schwarz不等式ERI预筛选等一系列新的优化算法,从局域性、对称性、周期性等方面都对计算进行了优化。同时在并行方面,也提出了进行并行分配的“多机调度法”与“K-means法”,以及与密度矩阵、哈密顿量相关的一系列通讯算法,保证了程序的可扩展性。所有算法都完成了高效的程序实现。由此,成功实现了大规模、高并行度的杂化泛函计算,计算时间随体系大小呈线性增长、随计算资源呈线性加速比。现已可以用较少的计算资源,以较快的速度完成数千原子体系的杂化泛函计算。
孔垂柳[5]（2020）在《次线性算子和凸算子下最优估计问题的研究》文中研究表明在经典的概率论框架下,正交投影定理告诉我们被估计变量的条件期望就是关于它最小均方估计问题的最优解。正是基于正交投影定理,Kalman[47],Kalman和Bucy[46]首次完整地给出了线性高斯系统下的滤波方程,从而奠定了现代滤波理论的基础。此外,Bensoussan[8],Liptser和Shiryeav[51]等进一步完整地介绍和推广了 Kalman-Bucy滤波的理论结果。因此,正是基于如此完整的滤波理论体系,在不同领域中一系列部分观测（或部分信息）下随机最优控制问题才能得以解决。进一步地,如果我们将期望算子替换为次线性算子或者凸算子,那么此时我们应该如何得到次线性算子（或凸算子）下的最小二乘估计问题的最优解,并且该最优解是否仍然与条件一致风险测度和条件g-期望保持一致?这是个很有意义的问题。最近,Sun和Ji[74]研究了次线性算子下有界随机变量的最小均方估计问题。但是,这个结果限定在有界空间,在应用中有一定的局限性。因此,我们将这个结果推广到了可积空间,从而探讨随机领域中的问题。本文主要研究了次线性算子和凸算子下最小均方估计问题、次线性算子下状态方程带模糊的Kalman-Bucy滤波问题和观测方程带模糊的Kalman-Bucy滤波问题、凸算子下系统带模糊的Kalman-Bucy滤波问题。本文分为六章,其中第一章为研究背景和预备知识,第二章到第六章的研究内容概括如下。论文的第二章:本章主要研究了次线性算子下非有界随机变量的最小均方估计问题。在温和的假设条件下,我们得到了非有界随机变量的最小均方估计元的存在性和唯一性定理和最小均方估计元的一些基本的性质。并且给出三个例子说明最小均方估计元不同于条件一致风险测度和条件g-期望。本章的创新点在于删除了 Sun和Ji[74]中有界性的假设,提出一种新的证明思路解决次线性算子下可积随机变量的最小均方估计问题,并且得到可积随机变量的最小均方估计元的存在性和唯一性定理,同时也给出了最小均方估计元的一些性质。论文的第三章:本章主要研究了一个模型不确定性下广义的Kalman-Bucy滤波模型和相应的稳健估计问题,其中模糊参数θ主要影响到状态方程。我们发现这个稳健估计问题可以等价地看作是一个次线性算子下的估计问题。由Girsanov变换和最小最大值定理,我们证明这个稳健估计问题可以被重新构造成一个在新的概率测度下的Kalman-Bucy滤波问题。在本章中我们得到了最优估计元的滤波方程。此外,在特殊的条件下,我们证明了该最优估计元可以被分为两部分,其中一部分是经典情况下的滤波方程,另外一部分包含了最优的模糊参数θ*。这个结果有助于解释模糊参数是如何影响最优估计元的演变。本章的创新点在于将漂移项模糊引入经典的Kalman-Bucy模型中,那么相应的估计问题（?）就变为一个稳健估计问题（?）。根据证明的定理3.1,我们找到最优的模糊参数θast,这有助于我们将问题（?）中的两个非线性元素sup inf退化为一个非线性元素inf,并最终得到最优估计元x满足的滤波方程。论文的第四章:本章主要考虑了一个模型不确定性下的广义的Kalman-Bucy滤波模型和与之对应的稳健估计问题。在本章中,模型不确定参数θ主要影响到观测方程。我们之所以这么构建模型主要是基于Ji,Li和Miao[37]所考虑的一个动态合约问题,在他x所考虑的模型中,一个项目的可以被观测到的累计产出方程中含有不确定参数a和η。对模型更直观的解释为:不同的观测者对信号过程的衡量标准是不同的。这样就会导致模型不确定性。因此,我们考虑这个广义的Kalman-Bucy滤波模型是有意义的。我们同样是将该稳健估计问题等价的看作是在一个次线性算子下的估计问题,转而求解这样一个次线性算子下的最小均方估计问题并得到最优估计元的刻画方程。同样地,在特殊条件下,该最优估计元可以被分解为两部分,其中一部分是经典情况下的滤波方程,另外一部分包含了最优的模糊参数θ*。这个结果有助于解释模糊参数是如何影响最优估计元的演变。论文的第五章:在第五章,我们研究了凸算子下有界随机变量的最小均方估计元的存在性和唯一性的问题。本章的创新点在于考虑到次线性算子应用的局限性,我们将次线性算子下的最小均方估计元的理论推广到凸算子下。由于凸算子缺少正齐次性,因此这就导致凸算子的表达式相较于次线性算子会多出一个惩罚项。本章的内容区别于Sun和Ji[74]的主要地方在于如何处理这个惩罚项。最终我们得到凸算子下有界随机变量的最小均方估计元的存在性和唯一性定理以及最小均方估计元的性质。论文的第六章:本章的一个创新点在于将倒向随机微分方程的相关理论和Kalman-Bucy滤波理论相结合,将经典的滤波问题推广为一个关于信号过程的稳健估计问题,该问题也可以看作是在一个凸算子下的最小均方估计问题,我们最终得到了信号过程的最小均方估计元满足的微分方程（即滤波方程）。此外,在上一章中,我们研究了凸算子下有界随机变量的最小均方估计元的存在性和唯一性的问题。在本章中,另一个创新点在于我们将相应的存在性和唯一性结果推广到可积空间中,即得到了凸算子下可积随机变量的条件期望的定义。由于凸算子缺少正齐次性,因此这就导致凸算子的表示相较于次线性算子会多出一个惩罚项。本章的内容区别于第一章的主要地方在于如何处理这个惩罚项。论文的第七章:在本章中,我们在随机控制的角度下重新构建了第三章中的稳健估计问题,使之变成一个零和的正倒向随机微分博弈问题。其中代价泛函定义为:J（a,b-,θ）=E[Y（a,b;θ）（0）]=Y（a,b;θ）（0）,（1）状态变量（ζ（.）,Y（.））满足:其中K（t）是一致有界的,确定性的函数,（a（t）,b（t）;θ（t））是控制变量。令AZ（1）={（a,b）|a（t）和b（t）是Zt-可测的过程并且属于LZt2（0,T;Rn）和LZt2（0,T;Rn×m）},A（2）={θ|θ（t）是Ft-可测的过程使得|θ（t）|θ（t）| ≤ μ}.定义0.1.如果（a,b;θ）∈AZ（1）× AF（2）,那么我们称控制变量（a,b;θ）是允许的。定义哈密顿函数H（t,ζ,Y,Z1,Z2,a,b,θ,l,n2,λ）H（t,ζ,Y,Z1,Z2,a,b,θ,l,n2,λ）=l（t）（a（t）+b（t）G（t）∈（t））+λ（t）（-θ（t）Z1（t）（3）-K（t）（x（t）-ζ（t））2）+b（t）n2（t）,和伴随方程:应用凸变分的技术,我们得到如下最大值原理:定理0.1.令假设4成立。假设（a（.）,b（.）;θ（.））是问题（1）的一个鞍点,并且（ζ（.）,Y（.）,Z1（·）,Z2（·））是相应的状态轨迹。那么,我们有E[Ha（t,ζ,Y,Z1,Z2,a,b,θ,l,n2,λ）|Zt]=0,E[Hb（t,ζ,Y,Z1,Z2,a,b,θ,l,n2,λ）|Zt]=0,（6）E[Hθ（t,ζ,Y,Z1,Z2,a,b,θ,l,n2,λ）|Ft]=0其中（l（.）,n1（·）,n2（.））和λ（.）是伴随方程（4）-（5）的解。
甄茂鼎[6]（2020）在《几类非局部耦合系统基态解的存在性和分类》文中研究指明非局部方程（组）解的存在性以及解的分类一直是偏微分方程领域的一个重要模块。从2007年Caffarelli和Silvestre[1]中通过延拓方法把非局部问题转化为高一维的局部问题之后,分数阶方程（组）解的存在性有了大量的研究。研究分数阶方程解的存在性主要方法有变分法和有限维无限维约化方法。本论文主要采用变分法,通过山路引理、Ekeland’s变分原理、隐函数定理、Vatali’s定理以及转化为代数方程组的方法,研究临界耦合系统、临界和次临界耦合系统、带有变号势函数耦合系统以及次临界耦合系统基态解的存在性和不同Moser指标的基态解的分类。本文一共分为七章,前两章介绍了研究背景,研究现状以及一些预备知识,在第三章到第六章中,我们给出上面四个方面内容的证明细节。首先,我们给出了全空间上临界耦合系统解的存在性。如果（?）是系统的解,那么（k,l）必然满足一个代数方程组。基于上面观察,我们把问题转化为代数方程组解的存在性问题,通过研究代数方程组解的存在性得到了在不同条件下基态解的存在性。在处理有界域上临界耦合系统时,我们先证明系统具有山路结构,由山路引理得到Palais-Smale序列的存在性。为了证明Palais-Smale序列的强收敛性,我们先证明Palais-Smale序列的有界性,由Sobolev嵌入定理得到Palais-Smale序列的弱收敛性,利用Brezis-Lieb引理和能量比较得到了 Palais-Smale序列的强收敛性。其次,我们考虑了全空间上临界次临界耦合系统。因为对任意的p≥ 1,Hs（RN）空间嵌入到LP（RN）空间都不是紧嵌入,因此为了克服紧性缺失问题,我们在对称空间上处理,利用对称临界原理得到了原空间的基态解的存在性。在对称空间上我们使用变分法、山路引理、Sobolev嵌入定理、Vatali’s定理以及能量比较的方法,得到了临界和次临界耦合系统基态解的存在性,即我们证明存在一个μ0∈（0,1）,使得当0<μ≤μ0,系统有一个正的基态解。当μ>μ0,存在一个λμ,（?）),使得如果λ>λμ,v,系统有一个正的基态解,如果λ<λμ,v,系统没有基态解。再次,我们考虑了带有变号势函数的耦合系统,通过Nehari流形分解、Ekeland’s变分原理、隐函数定理和泰勒展开,证明了 Palais-Smale序列的存在性,进一步我们证明Palais-Smale序列的收敛性。当参数对（λ,μ）属于R2的特定子集时,我们得到了系统存在至少两个正解。最后,我们考虑了次临界耦合系统基态解的存在性和分类。当α,β,γ,μ1,μ2取适当的条件下,我们给出了带有不同Moser指标的基态解的完全分类,证明了如果（u0,v0）是任意正的基态解,那么在适当的条件下（?）并且带有不同Moser指标。最后,我们给出了有限维和无限维约化的证明思路,并提出了一些可能通过有限维和无限维约化的方法考虑的问题。
石佳[7]（2020）在《S*（M）-值测度及相关问题》文中指出离散时间正规鞅是一类重要的随机过程,其泛函也越来越多地受到人们的关注.设S*（M）为离散时间正规鞅M的广义泛函空间.本文旨在讨论关于S*（M）-值测度和S*（M）-值函数的积分运算,主要工作如下.首先,定义了取值于广义泛函空间S*（M）的测度,运用Fock变换进一步研究了S*（M）-值测度的性质,得到了这一类向量值测度在范数意义下可数可加的适合条件.其次,引入了S*（M）-值函数关于标量值测度的积分,并讨论了该类积分的运算性质.最后,研究了S*（M）-值函数关于S*（M）-值测度的Bochner-Wick积分,得到了相应的可积性刻画定理,进而建立了相应的控制收敛定理以及其它一些相关结果.
马玲玲[8]（2020）在《基于模型约化方法的随机最优控制问题的研究》文中研究表明本篇博士论文主要研究模型约化方法求解椭圆特征值问题和随机最优控制问题.通过模型约化方法,我们旨在建立两种问题的优化模型,在保持一定数值精度的前提下,尽量减少计算成本,提高计算效率.近年来,偏微分方程特征值问题在前沿科技和工程领域越来越受到关注.在物理领域,特征值通常和振动现象有关,特别是共振现象有着密切的联系.在其它领域,如天体物理学,石油储层模拟,电子能带结构计算等方面,特征值问题也有着广泛应用.然而,特征值问题作为非线性问题,其数值求解的计算量很大.对于含有多尺度信息的特征值问题,直接利用传统的数值方法在最细的尺度上求出含有各种尺度信息的解往往是十分困难的,且计算成本非常高.而受随机偏微分方程控制的随机最优控制问题,常被用来描述实际问题中的物理过程.为了尽可能准确地评估物理模型和过程的合理性以及评估模型的输出量,人们往往采用多尺度随机最优控制问题进行.对于模型中的不确定性,我们通常需要大量的随机参数来刻画模型中的不确定性.但是这些参数可能是高维,且可能是几百维甚至上千维.与确定性最优控制问题相比,随机最优控制问题的数值求解,计算法复杂度高,且需要大量的运算和存储空间.从而,对多尺度随机模型的模拟,数值计算更是十分困难的,很容易出现“维数灾难”.为了克服计算量较大的问题,针对含有多尺度信息的特征值问题,我们在本文的第三章将利用广义多尺度有限元方法建立椭圆特征值问题的约化模型,并在理论上给出特征值和特征函数的误差估计.文中,我们利用数值算例验证了广义多尺度有限元方法的数值合理性.对于模型约化方法在随机最优控制问题中的应用,我们在文中针对两种不同的随机最优控制问题提出了两种不同的模型约化方法.针对受椭圆偏微分方程控制的随机最优控制问题,我们在本文第四章中采用广义多尺度有限元方法作为局部模型约化方法,并结合降基方法作为全局模型约化方法,提出一种局部-全局模型约化方法.对于这种模型约化方法,我们不仅将在在理论上验证了模型约化最优解的存在唯一性,并在数值上通过几个数值算例验证局部-全局模型约化方法的合理性和计算高效性.在最后一章中,为了高效求解受随机抛物方程控制的随机最优控制问题,我们将基于新颖变量分离方法提出杂交模型约化方法.在杂交模型约化方法中,我们将在离线过程中通过两种低保真优化模型提前构造好关于随机变量的随机基函数和关于时间和物理变量的确定性基函数.对于一个新的随机样本,我们可以在在线过程中快速地计算出张量积结构的最优解.该模型约化方法结合了双模型,多尺度模型和双保真模型技术,从而能大大地降低计算复杂度,提高计算效率.一些数值算例也展示了杂交模型约化方法的优势和高效性.对于特征值问题和随机最优控制问题,我们利用多种模型约化方法建立相应的优化模型,并通过数值实验验证模型约化方法的合理性和高效性.
刘圣达[9]（2019）在《非瞬时脉冲微分系统的有限时间完全跟踪控制》文中研究指明非瞬时脉冲微分系统综合物理原理和统计回归两种建模方式,使用微分方程和代数方程建模,在病虫害防治、药剂动力学和工程控制等方面有着广泛的应用。在对非瞬时脉冲微分系统可控性和最优控制问题研究的基础上,人们还期望设计有效的学习控制策略,使在有限时间区间内反复运行的受控系统输出能跟踪上预定轨迹,为此必须研究非瞬时脉冲微分系统的有限时间完全跟踪控制。本文运用算子半群理论、集值映射理论、非紧性测度理论、分数阶微积分理论、非线性泛函分析理论以及迭代学习控制技术,系统的研究了整数阶非瞬时脉冲微分方程、分数阶非瞬时脉冲微分发展方程和微分包含系统的可控性、最优控制存在性和有限时间完全跟踪控制。本文主要内容如下:第一,研究整数阶非瞬时非自治脉冲微分方程,给出温和解的合适定义,并运用不动点方法给出温和解的存在唯一性结果及系统可控的充分条件。进一步,基于跟踪误差函数,定义恰当的性能指标函数,获得最优控制存在性的新结果。在此基础上,研究Caputo型分数阶发展方程,运用分数阶微积分理论给出温和解的合适定义,通过构造复合算子,综合运用非线性泛函分析技巧、算子半群理论及不动点方法得到温和解的存在性、近似可控性结果,进而得到更一般的Lagrange型最优控制问题的存在性结果。第二,借助迭代学习控制技术,研究整数阶和分数阶非瞬时脉冲微分系统的有限时间完全跟踪控制。在批次长度固定情形下,设计了经典的型学习律;在批次长度变化情形下,分别设计了改进的型学习律、含有局部平均算子去除冗余信息的型学习律、基于定义域对齐算子概念和Schmidt正交化方法的非线性学习律。综合运用Lipschitz条件、H¨older不等式、分数阶Gronwall不等式和压缩映像原理,在范数意义下,给出了若干充分条件,确保具有初态偏移的系统随着重复运行次数的增加,跟踪误差收敛于零。通过若干数值算例,验证了所得理论结果的有效性;通过对比收敛速度也展示了非线性学习律具有良好加速收敛效果。第三,研究整数阶非瞬时脉冲发展包含的轨道近似可控性和最优控制存在性及通有稳定性。在非线性集值映射满足上半连续和近乎下半连续的情形下,将包含的轨道可控性问题转化为单值映射对应的算子方程不动点问题,运用非紧性测度理论及相应的不动点定理得到了轨道近似可控性结果;借助集值映射的非紧性测度压缩与不动点集具有紧性的关系,获得了最优控制存在性结果,并利用Fort引理研究Baire纲意义下最优控制通有稳定性。最后,研究脉冲微分包含的有限时间完全跟踪控制。假设右端集值映射在特定的有限维凸闭集上满足Lipschitz连续条件,设计了经典型和型学习律,借助Steiner选择,给出了一阶非线性微分包含受控系统的迭代学习控制问题收敛性分析结果,并将理论结果应用于机器鱼的速度控制。在此基础上,将上述理论结果扩展到受控系统为非瞬时脉冲热传导微分包含系统,并在恰当的Sobolev空间中得到了系统跟踪误差收敛的充分条件。
张家玲[10]（2019）在《离散情形下调和函数、调和映射的计算及工程应用研究》文中提出调和函数和调和映射是数学和工程中的研究热点。从理论到实际,横跨物理学、偏微分方程理论、有限元理论、数值计算、微分几何等诸多领域。由于算法简单、计算高效,调和函数和调和映射在工程领域被广泛应用。论文基于经典数学理论中的一些结论研究离散情形下调和函数和调和映射的计算问题,并运用计算结果处理相关的工程问题。本文研究了以下三个问题:1、近年来,计算共形映射被广泛应用于几何模拟、计算机图形学、计算机视觉等多个工程领域。基于调和映射的算法简单,文中第一部分的工作是提出用调和映射逼近带边界曲面间的共形映射。调和映射定义为梯度平方模积分或者能量密度积分的临界点,黎曼曲面上的调和能量沿梯度的反方向递减并且收敛到共形映射。曲面间的调和微分同胚与唯一一个Beltrami微分对应,因此一个调和微分同胚系列对应于一个Beltrami微分系列。曲面边界被映射到平面上一个单位圆周时,Beltrami微分系列以常共形模改变。本文用有常共形模的Beltrami微分系列研究了曲面间的共形映射,这相当于一个固定边界对应下递减的调和能量系列;在此基础上提出了相应的数值计算方法,并进一步分析讨论了计算方法的收敛性,最后通过数值实验验证了理论的结论。2、一对一性是计算机图形学参数化和形状比较等工作中对所使用方法的基本要求,但工程上对具有复杂拓扑结构的封闭图形间离散调和映射的一对一性研究尚不完善。论文的第二个工作是在双曲几何下运用平面三角网到平面的分段线性映射讨论双曲凸组合映射,即每个内点的像都是其邻近点像的测地质心,这可看成是封闭的高亏格曲面间双曲调和微分同胚的离散情形。凸组合映射比调和映射更丰富,所有一对一的分段线性映射都是凸组合映射。对于离散三角网情形下的微分同胚,则需要离散双曲调和映射在每个三角形上是一对一的分段线形映射,且不改变任意三角形的定向。封闭的高亏格离散曲面运用Ricci流的方法可以嵌入到双曲平面圆盘中,本文进行了万有覆盖空间上离散调和映射的一对一性研究,并通过万有覆盖空间上的一对一性说明了封闭的高亏格离散曲面间双曲调和映射的一对一性。3、用接触几何体表示图的结构一直是图论和几何学领域的一个研究热点,最典型的例子就是平面图的圆周接触表示,这时每个平面图用内部交集为空集的接触圆周表示,其中图的每个顶点被一个圆周取代,边的连接关系则由两个接触的圆周来反映。图的这种几何表示联系了图的组合结构和几何结构,因此图的其他接触几何体表示也颇受关注,数学上应用图的正方形接触表示研究组合黎曼映射定理。然而,关于计算图的正方形接触表示的工作不多,并且现有的计算方法实施困难。论文的第三个工作是基于组合Hodge理论给出了一种计算图的正方形接触表示的方法;同时文中详细介绍了相关的理论基础和算法过程,并将这种线性方法应用于嵌入到高亏格曲面上图的正方形接触表示。
二、Lp空间中随机过程泛函的某些收敛性（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、Lp空间中随机过程泛函的某些收敛性（论文提纲范文）
（1）最优控制问题和随机优化问题的数值方法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 最优控制问题 |
| 1.2 随机优化问题 |
| 第二章 Possion方程约束最优控制问题的交替方向乘子法 |
| 2.1 基本概念 |
| 2.1.1 Lebesgue空间与弱导数 |
| 2.1.2 Sobolev空间 |
| 2.2 Possion方程约束最优控制问题及其有限元离散格式 |
| 2.2.1 典型问题 |
| 2.2.2 有限元离散格式 |
| 2.3 Possion方程约束控制优化问题有限元离散格式的交替方向乘子法 |
| 2.3.1 无控制约束情形下的交替方向乘子法迭代 |
| 2.3.2 盒约束情形下的交替方向乘子法迭代 |
| 2.4 误差分析 |
| 2.4.1 有限元逼近误差分析 |
| 2.4.2 交替方向乘子法迭代误差分析与总体误差 |
| 2.5 数值实验 |
| 2.5.1 参数设定与实验策略 |
| 2.5.2 实验结果 |
| 第三章 随机优化问题的分块镜像随机梯度法 |
| 3.1 预备工作 |
| 3.1.1 记号和概念 |
| 3.1.2 算法框架 |
| 3.1.3 基本假设 |
| 3.2 分块镜像随机梯度法对于随机凸优化问题的收敛性 |
| 3.2.1 分块镜像随机梯度法对于凸问题的收敛性 |
| 3.2.2 分块镜像随机梯度法对于强凸问题的收敛性 |
| 3.3 分块镜像随机梯度法对于随机复合优化问题的收敛性 |
| 3.3.1 分块镜像随机梯度法对于复合凸问题的收敛性 |
| 3.3.2 分块镜像随机梯度法对于复合强凸问题的收敛性 |
| 3.3.3 分块镜像随机梯度法对于复合非凸问题的收敛性 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.4.1 记号与参数设定 |
| 3.4.2 Conditional Value-at-Risk问题 |
| 3.4.3 随机LASSO问题 |
| 3.5 补充说明 |
| 第四章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成的学术论文 |
| 致谢 |
（2）非定态中子迁移方程的均值投影方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题背景 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 本文的主要研究内容和结构 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 基本概念 |
| 2.2 相关引理 |
| 2.3 本章小结 |
| 第3章 非定态中子迁移方程离散化的均值投影方法 |
| 3.1 空间与算子 |
| 3.2 均值投影方法 |
| 3.3 算子的性质 |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 均值投影算子的收敛性 |
| 4.1 谱投影算子 |
| 4.2 特征值和特征元的收敛性 |
| 4.3 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间发表的学术论文 |
| 致谢 |
（3）动态风险度量极限理论及其应用（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 动态相容风险度量时间一致性的若干刻画及相互关联 |
| 1.1 前言 |
| 1.2 动态相容风险度量简介 |
| 1.3 从概率角度刻画 |
| 1.3.1 Stability模型 |
| 1.3.2 Rectangularity模型 |
| 1.3.3 ⅡD模型 |
| 1.3.4 BU模型 |
| 1.4 从期望角度刻画 |
| 1.4.1 g-期望 |
| 1.4.2 次线性期望 |
| 1.5 联系和区别 |
| 1.5.1 联系 |
| 1.5.2 区别 |
| 第二章 动态相容风险度量的大数定律 |
| 2.1 前言 |
| 2.2 动态风险度量和相关性质 |
| 2.3 动态相容风险度量的大数定律 |
| 2.4 两个具体例子 |
| 2.4.1 Stability模型下的动态相容风险度量 |
| 2.4.2 基于g-期望的动态相容风险度量 |
| 第三章 Stability模型下随机变量阵列的大数定律及其对m-相依随机变量的应用 |
| 3.1 前言 |
| 3.2 Stability模型和相关引理 |
| 3.3 随机变量阵列的大数定律 |
| 3.4 应用: m-相依随机变量 |
| 第四章 BU模型下的中心极限定理 |
| 4.1 前言 |
| 4.2 G-正态分布和相关性质 |
| 4.3 BU模型和相关引理 |
| 4.4 主要结果 |
| 第五章 G-布朗运动的分解定理 |
| 5.1 前言 |
| 5.2 Ocone鞅和G-布朗运动 |
| 5.3 G-布朗运动的分解定理 |
| 5.4 G-布朗运动分解定理的几个应用 |
| 第六章 一般次线性期望下随机变量阵列的完全收敛性和强大数定律 |
| 6.1 前言 |
| 6.2 广义负相关随机变量与相关引理 |
| 6.3 主要结果 |
| 6.4 独立同分布随机变量阵列的完全收敛性 |
| 第七章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成论文情况 |
| 致谢 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（4）数值原子轨道下大规模周期性体系的高效杂化泛函计算（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第1章 第一性原理计算方法 |
| 1.1 薛定谔方程 |
| 1.1.1 薛定谔方程 |
| 1.1.2 玻恩-奥本海默近似 |
| 1.2 第一性原理计算方法 |
| 1.2.1 Hartree-Fock方法 |
| 1.2.2 密度泛函理论 |
| 1.2.3 Jacob天梯 |
| 1.3 求解本征方程 |
| 1.4 第一性原理计算软件 |
| 1.4.1 现有软件介绍 |
| 1.4.2 ABACUS软件介绍 |
| 第2章 杂化泛函 |
| 2.1 杂化泛函 |
| 2.1.1 杂化泛函方法 |
| 2.1.2 哈密顿矩阵元 |
| 2.1.3 研究现状 |
| 2.2 RI方法 |
| 2.2.1 RI-SVS方法 |
| 2.2.2 RI-V方法 |
| 2.2.3 RI-LVL方法 |
| 第3章 辅助基组构造方法 |
| 3.1 on-site辅助基组构造方法 |
| 3.1.1 on-site辅助基组构造方法 |
| 3.1.2 用主成分分析降低on-site辅助基组数目 |
| 3.2 opt辅助基组构造方法 |
| 3.2.1 opt辅助基组构造方法 |
| 3.2.2 在on-site基组的基础上构造opt基组 |
| 3.2.3 多轨道拟合 |
| 3.2.4 辅助基生成构型 |
| 第4章 高效杂化泛函算法实现 |
| 4.1 稀疏矩阵预筛选 |
| 4.1.1 C矩阵 |
| 4.1.2 V矩阵 |
| 4.1.3 D矩阵 |
| 4.1.4 H~(exx)矩阵 |
| 4.2 计算框架视角转换 |
| 4.3 双中心积分备忘算法 |
| 4.4 周期性加速 |
| 4.5 矩阵乘顺序选择 |
| 4.6 Cauchy-Schwarz不等式矩阵预筛选 |
| 4.7 Cauchy-Schwarz不等式ERI预筛选 |
| 4.7.1 计算框架视角转换下的筛选形式 |
| 4.7.2 周期性加速下的筛选形式 |
| 4.8 程序全流程 |
| 第5章 并行算法 |
| 5.1 并行分配方案 |
| 5.1.1 多机调度法 |
| 5.1.2 K-means法 |
| 5.2 并行通信设计 |
| 5.2.1 各线程间H~(exx)竞争分析与设计 |
| 5.2.2 各进程间H~(exx)、D数据传输方案 |
| 第6章 算法有效性测试 |
| 6.1 辅助基展示 |
| 6.1.1 on-site辅助基组展示 |
| 6.1.2 opt辅助基组展示 |
| 6.2 辅助基组收敛性测试 |
| 6.2.1 Si晶体收敛性测试 |
| 6.2.2 GaAs晶体收敛性测试 |
| 6.2.3 多体系收敛性测试 |
| 6.3 整体精度对比测试 |
| 6.3.1 泛函间与原子轨道基组间精度对比测试 |
| 6.3.2 软件间精度对比测试 |
| 6.3.3 特殊体系精度详细对比测试 |
| 6.4 半导体能带测试 |
| 第7章 算法与程序效率测试 |
| 7.1 稀疏矩阵预筛选对内存消耗量的影响 |
| 7.2 备忘算法对内存消耗量的影响 |
| 7.3 Cauchy-Schwarz不等式预筛选对计算时间的影响 |
| 7.4 “多机调度法”负载均衡测试 |
| 7.4.1 Si晶体测试 |
| 7.4.2 DNA片段测试 |
| 7.5 “K-means法”内存分配测试 |
| 7.6 规模性测试 |
| 7.6.1 计算体系规模测试 |
| 7.6.2 并行规模测试 |
| 7.7 自洽收敛速度测试 |
| 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 物理相关附录 |
| .1 原子轨道构造 |
| .2 双中心积分 |
| .3 库仑势 |
| .3.1 HF库仑势 |
| .3.2 HSE库仑势 |
| .3.3 硬截断库仑势 |
| .3.4 软截断库仑势方案一 |
| .3.5 软截断库仑势方案二 |
| .4 平面波辅助基组 |
| .4.1 平面波辅助基组 |
| .4.2 HF库仑势 |
| .4.3 HSE库仑势 |
| .5 计算框架视角转换证明 |
| 算法相关附录 |
| .6 主成分分析 |
| .7 多机调度近似解证明 |
| .8 梯度下降法 |
| .9 模拟退火法 |
| .10 K-means聚类算法 |
| .10.1 EM算法 |
| .10.2 GMM算法 |
| .10.3 K-means算法 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果 |
（5）次线性算子和凸算子下最优估计问题的研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 研究背景和预备知识 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 概率论的相关知识 |
| 1.3 倒向随机微分方程理论 |
| 1.4 次线性算子下有界随机变量的最优均方估计问题 |
| 1.4.1 问题构建 |
| 1.4.2 相关结论 |
| 第二章 次线性算子下最小均方估计问题 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 预备知识和问题描述 |
| 2.2.1 预备知识 |
| 2.2.2 问题描述 |
| 2.3 存在性和唯一性结果 |
| 2.3.1 存在性结果 |
| 2.3.2 唯一性结果 |
| 2.4 次线性算子下可积随机变量的最小均方估计元的刻画 |
| 2.5 次线性算子下可积随机变量的最小均方估计元的性质 |
| 2.6 本章小结 |
| 2.7 附录 |
| 第三章 一个稳健的Kalman-Bucy滤波问题 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 问题的构建 |
| 3.3 主要的结果 |
| 3.4 本章小结 |
| 3.5 附录 |
| 第四章 基于观测不确定性的滤波问题 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 稳健估计问题的构建 |
| 4.3 稳健估计问题的求解 |
| 4.4 本章小结 |
| 4.5 附录 |
| 第五章 凸算子下有界随机变量的最小均方估计问题 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 预备知识和问题描述 |
| 5.2.1 预备知识 |
| 5.2.2 有界随机变量的最小均方估计问题 |
| 5.3 最小均方估计元的存在性和唯一性 |
| 5.3.1 存在性结论 |
| 5.3.2 唯一性结论 |
| 5.4 凸算子下有界随机变量的最小均方估计元的性质 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 Kalman-Bucy滤波和不确定性下的最小均方估计元 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 稳健估计问题的构建 |
| 6.3 稳健估计问题的主要结论 |
| 6.4 预备知识和问题描述 |
| 6.4.1 预备知识 |
| 6.4.2 问题描述 |
| 6.5 最小均方估计元的存在性和唯一性 |
| 6.5.1 存在性定理 |
| 6.5.2 唯一性定理 |
| 6.6 凸算子下可积随机变量最小均方估计元的性质 |
| 6.7 附录 |
| 6.8 本章小结 |
| 第七章 用最优控制方法讨论次线性算子下的最优估计问题 |
| 7.1 引言 |
| 7.2 问题的构建 |
| 7.2.1 在概率论框架下构建估计问题 |
| 7.2.2 从最优控制的角度构建问题 |
| 7.3 最大值原理 |
| 7.3.1 变分方程 |
| 7.3.2 最大值原理 |
| 7.4 滤波 |
| 7.5 本章小结 |
| 第八章 本文的总结和新颖之处 |
| 8.1 本文的总结 |
| 8.2 本文的创新点 |
| 8.3 本文存在的不足以及进一步需要研究的问题 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成论文情况 |
| 致谢 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（6）几类非局部耦合系统基态解的存在性和分类（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究内容与研究安排 |
| 2 预备知识与引理 |
| 2.1 Sobolev空间与嵌入定理 |
| 2.2 Palais-Smale条件,山路引理 |
| 2.3 Ekeland's变分原理,Vitali's定理 |
| 3 分数阶临界耦合系统解的存在性 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 主要定理 |
| 3.3 一些预备引理 |
| 3.4 定理3.1的证明 |
| 3.5 定理3.2的证明 |
| 3.6 定理3.3的证明 |
| 3.7 定理3.4的证明 |
| 3.8 本章小结 |
| 4 临界和次临界分数阶耦合方程基态解的存在性 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 主要定理 |
| 4.3 一些预备引理 |
| 4.4 定理4.1的证明 |
| 4.5 本章小结 |
| 5 带有变号势函数的次临界耦合分数阶方程组正解的存在性 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 主要定理结论 |
| 5.3 一些预备知识 |
| 5.4 Nehari流形分解 |
| 5.5 Palais-Smale序列的存在性 |
| 5.6 局部极小存在性 |
| 5.7 定理5.1和定理5.2的证明 |
| 5.8 本章小结 |
| 6 不同Moser指标的耦合系统基态解的分类 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 主要定理 |
| 6.3 一些预备引理 |
| 6.4 定理6.4的证明 |
| 6.5 定理6.5-定理6.7的证明 |
| 6.6 定理6.8的证明 |
| 6.7 本章小结 |
| 7 总结与展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录1 攻读学位期间发表论文目录 |
| 附录2 攻读博士学位期间参与的科研项目 |
（7）S*（M）-值测度及相关问题（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 引言 |
| 1.1 研究背景及现状 |
| 1.2 研究的问题 |
| 1.3 基础知识 |
| 第2章 离散时间正规鞅广义泛函空间 |
| 2.1 离散时间正规鞅 |
| 2.2 离散时间正规鞅广义泛函空间 |
| 2.3 离散时间正规鞅广义泛函序列的收敛性 |
| 第3章 S~*(M)-值测度 |
| 3.1 向量值测度的一般理论 |
| 3.2 S~*(M)-值测度 |
| 第4章 S~*(M)-值函数关于标量值测度的积分 |
| 4.1 离散时间正规鞅广义泛函空间上的Bochner积分 |
| 4.2 离散时间正规鞅广义泛函空间上的Bochner积分的性质 |
| 第5章 离散时间正规鞅广义泛函空间上的Bochner-Wick积分 |
| 5.1 离散时间正规鞅广义泛函空间上的Bochner-Wick积分 |
| 5.2 离散时间正规鞅广义泛函空间上的Bochner-Wick积分的Fubini定理 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 个人简历、在学期间发表的学术论文及研究成果 |
（8）基于模型约化方法的随机最优控制问题的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景与意义 |
| 1.2 国内外研究现状以及分析 |
| 1.3 基础知识与本文记号 |
| 1.4 本文的主要工作 |
| 第2章 模型约化方法 |
| 2.1 广义多尺度有限元方法 |
| 2.1.1 基本介绍 |
| 2.1.2 收敛性分析 |
| 2.2 降基方法 |
| 2.2.1 基本介绍 |
| 2.2.2 随机椭圆方程的贪婪取样方法 |
| 2.3 变量分离方法 |
| 第3章 椭圆特征值问题的收敛性分析 |
| 3.1 椭圆特征值问题 |
| 3.2 收敛性分析 |
| 3.2.1 特征函数的能量误差估计 |
| 3.2.2 特征函数的L2误差估计 |
| 3.2.3 特征值的相对误差估计 |
| 3.3 数值实验 |
| 3.3.1 椭圆特征值问题Ⅰ:p(x)=0 |
| 3.3.2 椭圆特征值问题Ⅱ:p(x)≠0 |
| 3.4 章节小结 |
| 第4章 受线性椭圆方程控制的随机最优控制问题 |
| 4.1 随机最优控制问题 |
| 4.1.1 优化解的存在唯一性 |
| 4.1.2 随机最优控制问题的有限元逼近 |
| 4.2 随机最优控制问题的全局模型约化 |
| 4.2.1 随机最优控制问题的降基方法 |
| 4.2.2 降基优化系统以及离线-在线计算 |
| 4.3 随机最优控制问题的局部-全局模型约化 |
| 4.3.1 局部-全局模型约化方法 |
| 4.3.2 随机最优控制问题的贪婪取样方法 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.4.1 分布式随机最优控制问题 |
| 4.4.2 定义在随机区域上的随机最优控制问题 |
| 4.4.3 纽曼边界最优控制问题 |
| 4.5 章节小结 |
| 第5章 受抛物方程控制的随机最优控制问题 |
| 5.1 基本概念 |
| 5.1.1 受抛物方程控制的随机最优控制问题 |
| 5.1.2 拉格朗日泛函构造 |
| 5.1.3 随机最优控制问题的有限元近似 |
| 5.2 随机最优控制问题的变量分离方法 |
| 5.3 随机最优控制问题的多保真模型约化方法 |
| 5.4 随机最优控制问题的杂交模型约化方法 |
| 5.5 数值实验 |
| 5.5.1 随机抛物方程 |
| 5.5.2 分布式随机最优控制问题 |
| 5.5.3 纽曼边界随机最优控制问题 |
| 5.6 章节小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 附录 攻读学位期间所发表的学术论文目录 |
（9）非瞬时脉冲微分系统的有限时间完全跟踪控制（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 引言 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究现状状综述与问题题提出 |
| 1.3 研究内容与全文主要结构 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 泛函分析和强连续半群基本理论 |
| 2.2 分数阶微积分 |
| 2.3 集值映射和非紧性测度 |
| 2.4 其它重要定义和定理 |
| 2.5 常用不等式 |
| 第三章 非瞬时脉冲微分方程的可控性和最优控制存在性 |
| 3.1 整数阶非瞬时脉冲微分方程的可控性和最优控制存在性 |
| 3.2 分数阶非瞬时脉冲发展方程的近似可控性和最优控制存在性 |
| 3.3 小结 |
| 第四章 非瞬时脉冲微分方程的迭代学习控制 |
| 4.1 批次长度固定的重复运行系统 |
| 4.2 批次长度变化的重复运行系统 |
| 4.3 小结 |
| 第五章 非瞬时脉冲微分包含的有限时间完全跟踪控制 |
| 5.1 轨道近似可控性和最优控制存在性与稳定性 |
| 5.2 微分包含系统的迭代学习控制 |
| 5.3 小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 硕博连读期间科研和论文情况 |
（10）离散情形下调和函数、调和映射的计算及工程应用研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 调和函数的偏微分方程理论 |
| 1.2 调和函数的有限元计算 |
| 1.3 Hodge理论 |
| 1.4 调和映射 |
| 1.5 国内外研究现状 |
| 1.5.1 调和映射的国内外研究现状 |
| 1.5.2 离散调和映射一对一性的国内外研究现状 |
| 1.5.3 组合Hodge理论的国内外研究现状 |
| 1.5.4 图的正方形接触表示的国内外研究现状 |
| 1.6 背景知识 |
| 1.7 本文的内容安排和创新点 |
| 1.7.1 本文的内容安排 |
| 1.7.2 本文的创新点 |
| 第二章 离散曲面间调和映射逼近共形映射 |
| 2.1 理论基础 |
| 2.2 分段线性函数空间 |
| 2.3 算法的收敛性 |
| 2.4 数值实验 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 离散曲面间的双曲调和映射 |
| 3.1 封闭的高亏格光滑曲面间的调和微分同胚 |
| 3.2 Sobolev空间中的调和能量 |
| 3.3 NPC空间中的调和映射 |
| 3.4 曲面的万有覆盖空间 |
| 3.5 单纯复形到NPC空间的调和映射 |
| 3.6 凸组合函数和凸组合映射 |
| 3.6.1 重心坐标 |
| 3.6.2 凸组合函数和凸组合映射 |
| 3.7 离散双曲调和能量 |
| 3.8 封闭的高亏格离散曲面间双曲调和映射的一对一性 |
| 3.8.1 双曲几何 |
| 3.8.2 离散双曲调和映射的一对一性 |
| 3.9 数值实验 |
| 3.10 本章小结 |
| 第四章 图的正方形接触表示 |
| 4.1 研究背景 |
| 4.2 组合Hodge霍奇理论 |
| 4.2.1 同调群 |
| 4.2.2 上同调群 |
| 4.2.3 组合Hodge定理 |
| 4.3 正方形接触表示 |
| 4.4 计算算法 |
| 4.4.1 数据准备工作 |
| 4.4.2 算法思路 |
| 4.5 平面图 |
| 4.6 离散极值长度理论 |
| 4.7 数值实验 |
| 4.8 本章小结 |
| 第五章 总结与展望 |
| 5.1 论文工作总结 |
| 5.2 未来工作展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 附录 攻读博士学位期间发表论文目录 |
四、Lp空间中随机过程泛函的某些收敛性（论文参考文献）
- [1]最优控制问题和随机优化问题的数值方法研究[D]. 杨晋达. 吉林大学, 2021(01)
- [2]非定态中子迁移方程的均值投影方法[D]. 岳铭. 哈尔滨师范大学, 2021(08)
- [3]动态风险度量极限理论及其应用[D]. 林一伟. 山东大学, 2020(04)
- [4]数值原子轨道下大规模周期性体系的高效杂化泛函计算[D]. 林霈泽. 中国科学技术大学, 2020(06)
- [5]次线性算子和凸算子下最优估计问题的研究[D]. 孔垂柳. 山东大学, 2020(11)
- [6]几类非局部耦合系统基态解的存在性和分类[D]. 甄茂鼎. 华中科技大学, 2020(01)
- [7]S*（M）-值测度及相关问题[D]. 石佳. 西北师范大学, 2020(01)
- [8]基于模型约化方法的随机最优控制问题的研究[D]. 马玲玲. 湖南大学, 2020(08)
- [9]非瞬时脉冲微分系统的有限时间完全跟踪控制[D]. 刘圣达. 贵州大学, 2019(05)
- [10]离散情形下调和函数、调和映射的计算及工程应用研究[D]. 张家玲. 昆明理工大学, 2019(06)